Contoh soal matematika kelas 11 semester 1

Menguasai Matematika Kelas 11 Semester 1: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal

Semester pertama di kelas 11 merupakan masa krusial dalam perjalanan pendidikan matematika. Materi yang diajarkan cenderung lebih abstrak dan menuntut pemahaman konsep yang mendalam. Oleh karena itu, latihan soal yang bervariasi dan mendalam menjadi kunci utama untuk menguasai materi ini. Artikel ini akan membahas secara mendalam beberapa topik penting dalam matematika kelas 11 semester 1, dilengkapi dengan contoh soal yang relevan beserta pembahasannya, sehingga siswa dapat mempersiapkan diri dengan optimal.

I. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers: Menjelajahi Relasi Antar Fungsi

Salah satu topik fundamental di awal semester adalah fungsi komposisi dan fungsi invers. Memahami bagaimana dua atau lebih fungsi saling berinteraksi dan bagaimana membalikkan sebuah fungsi adalah dasar penting untuk materi selanjutnya.

• Fungsi Komposisi: Operasi komposisi fungsi $(f circ g)(x)$ berarti menerapkan fungsi $g$ terlebih dahulu, kemudian menerapkan fungsi $f$ pada hasil dari $g(x)$. Secara matematis, $(f circ g)(x) = f(g(x))$.

  Contoh Soal 1:
  Diketahui fungsi $f(x) = 2x + 1$ dan $g(x) = x^2 – 3$. Tentukan $(f circ g)(x)$ dan $(g circ f)(x)$.

  Pembahasan:
  Untuk menentukan $(f circ g)(x)$, kita substitusikan $g(x)$ ke dalam $f(x)$:
  $(f circ g)(x) = f(g(x))$
  $= f(x^2 – 3)$
  $= 2(x^2 – 3) + 1$
  $= 2x^2 – 6 + 1$
  $= 2x^2 – 5$

  Untuk menentukan $(g circ f)(x)$, kita substitusikan $f(x)$ ke dalam $g(x)$:
  $(g circ f)(x) = g(f(x))$
  $= g(2x + 1)$
  $= (2x + 1)^2 – 3$
  $= (4x^2 + 4x + 1) – 3$
  $= 4x^2 + 4x – 2$

  Dari contoh ini, terlihat bahwa secara umum $(f circ g)(x) neq (g circ f)(x)$.

• Fungsi Invers: Fungsi invers dari $f(x)$, dilambangkan $f^-1(x)$, adalah fungsi yang membalikkan pemetaan dari $f(x)$. Jika $f(a) = b$, maka $f^-1(b) = a$.

  Contoh Soal 2:
  Tentukan fungsi invers dari $f(x) = frac3x – 2x + 1$.

  Pembahasan:
  Langkah pertama adalah mengganti $f(x)$ dengan $y$:
  $y = frac3x – 2x + 1$

  Selanjutnya, tukar variabel $x$ dan $y$:
  $x = frac3y – 2y + 1$

  Sekarang, kita selesaikan persamaan ini untuk mencari $y$:
  $x(y + 1) = 3y – 2$
  $xy + x = 3y – 2$
  $xy – 3y = -x – 2$
  $y(x – 3) = -(x + 2)$
  $y = frac-(x + 2)x – 3$
  $y = fracx + 23 – x$

  Jadi, fungsi inversnya adalah $f^-1(x) = fracx + 23 – x$.

II. Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak: Memahami Nilai Jarak

Konsep nilai mutlak seringkali menimbulkan kebingungan karena sifatnya yang selalu non-negatif. Menguasai penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak sangat penting.

• Definisi Nilai Mutlak: $|a| = a$ jika $a geq 0$, dan $|a| = -a$ jika $a < 0$.

• Persamaan Nilai Mutlak: Persamaan $|f(x)| = c$ (dengan $c geq 0$) memiliki dua kemungkinan solusi: $f(x) = c$ atau $f(x) = -c$.

  Contoh Soal 3:
  Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $|2x – 5| = 7$.

  Pembahasan:
  Kita pecah menjadi dua kasus:
  Kasus 1: $2x – 5 = 7$
  $2x = 12$
  $x = 6$

  Kasus 2: $2x – 5 = -7$
  $2x = -2$
  $x = -1$

  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $-1, 6$.

• Pertidaksamaan Nilai Mutlak:

  • $|f(x)| < c iff -c < f(x) < c$
  • $|f(x)| > c iff f(x) < -c$ atau $f(x) > c$

  Contoh Soal 4:
  Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $|x + 3| leq 5$.

  Pembahasan:
  Kita gunakan sifat $|f(x)| leq c iff -c leq f(x) leq c$:
  $-5 leq x + 3 leq 5$

  Kurangi semua bagian dengan 3:
  $-5 – 3 leq x leq 5 – 3$
  $-8 leq x leq 2$

  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $$.

  Contoh Soal 5:
  Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $|3x – 1| > 8$.

  Pembahasan:
  Kita gunakan sifat $|f(x)| > c iff f(x) < -c$ atau $f(x) > c$:
  Kasus 1: $3x – 1 < -8$
  $3x < -7$
  $x < -frac73$

  Kasus 2: $3x – 1 > 8$
  $3x > 9$
  $x > 3$

  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $(-infty, -frac73) cup (3, infty)$.

III. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV): Mencari Titik Potong Tiga Dimensi

SPLTV merupakan perluasan dari sistem persamaan linear dua variabel. Materi ini melatih kemampuan penalaran logis dan sistematis dalam menyelesaikan masalah yang melibatkan tiga besaran yang saling terkait.

• Metode Penyelesaian: Umumnya menggunakan metode substitusi, eliminasi, atau gabungan keduanya.

  Contoh Soal 6:
  Tentukan solusi dari SPLTV berikut menggunakan metode eliminasi:
  1) $x + y + z = 6$
  2) $2x – y + z = 3$
  3) $x + 2y – z = 2$

  Pembahasan:

  • Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2):
    $(x + y + z) – (2x – y + z) = 6 – 3$
    $-x + 2y = 3$ (Persamaan 4)

  • Eliminasi z dari persamaan (2) dan (3):
    $(2x – y + z) + (x + 2y – z) = 3 + 2$
    $3x + y = 5$ (Persamaan 5)

  • Sekarang kita punya sistem dua variabel:
    4) $-x + 2y = 3$
    5) $3x + y = 5$

  • Eliminasi y dari persamaan (4) dan (5): Kalikan persamaan (5) dengan 2.
    $-x + 2y = 3$
    $6x + 2y = 10$
    —————– (dikurangi)
    $-7x = -7$
    $x = 1$

  • Substitusikan nilai x ke persamaan (5) untuk mencari y:
    $3(1) + y = 5$
    $3 + y = 5$
    $y = 2$

  • Substitusikan nilai x dan y ke persamaan (1) untuk mencari z:
    $1 + 2 + z = 6$
    $3 + z = 6$
    $z = 3$

  Jadi, solusi dari SPLTV tersebut adalah $(x, y, z) = (1, 2, 3)$.

IV. Barisan dan Deret Aritmetika & Geometri: Menelusuri Pola Bilangan

Memahami barisan dan deret adalah kunci untuk menganalisis pola dalam berbagai fenomena. Semester ini akan fokus pada aritmetika (penambahan konstan) dan geometri (perkalian konstan).

• Barisan Aritmetika: Barisan dengan selisih antara dua suku berurutan yang konstan (disebut beda, $b$).

  • Rumus suku ke-n: $U_n = a + (n-1)b$
  • Rumus jumlah n suku pertama: $S_n = fracn2(2a + (n-1)b)$ atau $S_n = fracn2(a + U_n)$

  Contoh Soal 7:
  Suku ke-3 sebuah barisan aritmetika adalah 11 dan suku ke-7 adalah 23. Tentukan suku pertama dan bedanya, serta jumlah 10 suku pertama.

  Pembahasan:
  Diketahui:
  $U_3 = 11 implies a + (3-1)b = 11 implies a + 2b = 11$ (Persamaan A)
  $U_7 = 23 implies a + (7-1)b = 23 implies a + 6b = 23$ (Persamaan B)

  Eliminasi Persamaan A dari Persamaan B:
  $(a + 6b) – (a + 2b) = 23 – 11$
  $4b = 12$
  $b = 3$

  Substitusikan $b=3$ ke Persamaan A:
  $a + 2(3) = 11$
  $a + 6 = 11$
  $a = 5$

  Jadi, suku pertama ($a$) adalah 5 dan beda ($b$) adalah 3.

  Jumlah 10 suku pertama ($S10$):
  $S10 = frac102(2a + (10-1)b)$
  $S10 = 5(2(5) + 9(3))$
  $S10 = 5(10 + 27)$
  $S10 = 5(37)$
  $S10 = 185$

• Barisan Geometri: Barisan dengan perbandingan antara dua suku berurutan yang konstan (disebut rasio, $r$).

  • Rumus suku ke-n: $U_n = a cdot r^n-1$
  • Rumus jumlah n suku pertama: $S_n = fraca(r^n – 1)r – 1$ (untuk $r neq 1$)

  Contoh Soal 8:
  Suku pertama sebuah barisan geometri adalah 4 dan suku ke-4 adalah 108. Tentukan rasio dan jumlah 5 suku pertama.

  Pembahasan:
  Diketahui:
  $a = 4$
  $U_4 = 108 implies a cdot r^4-1 = 108 implies 4 cdot r^3 = 108$

  $r^3 = frac1084$
  $r^3 = 27$
  $r = 3$

  Jadi, rasio ($r$) adalah 3.

  Jumlah 5 suku pertama ($S_5$):
  $S_5 = fraca(r^5 – 1)r – 1$
  $S_5 = frac4(3^5 – 1)3 – 1$
  $S_5 = frac4(243 – 1)2$
  $S_5 = frac4(242)2$
  $S_5 = 2(242)$
  $S_5 = 484$

V. Trigonometri Dasar: Sudut, Sisi, dan Perbandingan

Trigonometri menjadi jembatan penting antara geometri dan analisis. Pemahaman dasar tentang perbandingan trigonometri (sinus, kosinus, tangen) pada segitiga siku-siku dan sudut-sudut istimewa sangat esensial.

• Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku:

  • $sin theta = fractextsisi depantextsisi miring$
  • $cos theta = fractextsisi sampingtextsisi miring$
  • $tan theta = fractextsisi depantextsisi samping$

  Contoh Soal 9:
  Dalam segitiga siku-siku ABC, siku-siku di B, diketahui panjang AB = 8 cm dan BC = 6 cm. Tentukan nilai $sin A$, $cos A$, dan $tan A$.

  Pembahasan:
  Pertama, kita cari panjang sisi miring AC menggunakan teorema Pythagoras:
  $AC^2 = AB^2 + BC^2$
  $AC^2 = 8^2 + 6^2$
  $AC^2 = 64 + 36$
  $AC^2 = 100$
  $AC = 10$ cm

  Sekarang, kita tentukan perbandingan trigonometri untuk sudut A:

  • Sisi depan sudut A adalah BC = 6 cm.
  • Sisi samping sudut A adalah AB = 8 cm.
  • Sisi miring adalah AC = 10 cm.

  $sin A = fracBCAC = frac610 = frac35$
  $cos A = fracABAC = frac810 = frac45$
  $tan A = fracBCAB = frac68 = frac34$

• Sudut-sudut Istimewa: Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90° sering muncul dalam soal. Penting untuk menghafalnya atau memahami cara menurunkannya.

  Contoh Soal 10:
  Tentukan nilai dari: $2 sin 30^circ + cos 45^circ – tan 60^circ$.

  Pembahasan:
  Kita gunakan nilai-nilai sudut istimewa:
  $sin 30^circ = frac12$
  $cos 45^circ = fracsqrt22$
  $tan 60^circ = sqrt3$

  Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam persamaan:
  $2 sin 30^circ + cos 45^circ – tan 60^circ = 2 left(frac12right) + fracsqrt22 – sqrt3$
  $= 1 + fracsqrt22 – sqrt3$

Penutup

Menguasai materi matematika kelas 11 semester 1 membutuhkan ketekunan dan latihan yang konsisten. Contoh-contoh soal yang disajikan di atas mencakup topik-topik kunci yang sering diujikan. Dengan memahami konsep di balik setiap soal dan berlatih soal-soal serupa, siswa diharapkan dapat membangun kepercayaan diri dan meraih hasil belajar yang optimal. Jangan ragu untuk mencari bantuan tambahan dari guru atau teman jika menemui kesulitan. Selamat belajar!

>