Contoh soal matematika kelas 10 smk semester 1

Menguasai Matematika Kelas 10 SMK Semester 1: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal

Matematika seringkali dianggap sebagai mata pelajaran yang menantang, terutama di jenjang SMK. Namun, dengan pemahaman konsep yang kuat dan latihan soal yang cukup, Anda dapat menguasai materi Matematika Kelas 10 SMK Semester 1 dengan baik. Artikel ini akan memandu Anda melalui beberapa topik penting yang biasanya diajarkan di semester awal ini, dilengkapi dengan contoh soal beserta pembahasannya yang mendalam. Tujuannya adalah agar Anda tidak hanya sekadar menghafal rumus, tetapi benar-benar memahami logika di baliknya.

Semester 1 Matematika Kelas 10 SMK umumnya mencakup beberapa bab krusial yang menjadi fondasi untuk materi selanjutnya. Beberapa di antaranya adalah:

1. Barisan dan Deret
2. Trigonometri Dasar
3. Fungsi Kuadrat
4. Vektor

Mari kita bedah satu per satu topik tersebut dengan contoh soal yang relevan.

>

Bab 1: Barisan dan Deret

Barisan dan deret adalah urutan bilangan yang memiliki pola tertentu. Ada dua jenis utama yang akan kita pelajari: barisan aritmetika (selisih antar suku konstan) dan barisan geometri (rasio antar suku konstan).

Konsep Penting:

• Barisan Aritmetika:

  • Rumus suku ke-n: $U_n = a + (n-1)b$
  • Rumus jumlah n suku pertama: $S_n = fracn2(a + U_n)$ atau $S_n = fracn2(2a + (n-1)b)$
  • Dimana:
    • $U_n$ = suku ke-n
    • $a$ = suku pertama
    • $b$ = beda (selisih antar suku)
    • $n$ = nomor suku
    • $S_n$ = jumlah n suku pertama

• Barisan Geometri:

  • Rumus suku ke-n: $U_n = a cdot r^n-1$
  • Rumus jumlah n suku pertama: $S_n = fraca(r^n – 1)r-1$ (untuk $r neq 1$)
  • Dimana:
    • $U_n$ = suku ke-n
    • $a$ = suku pertama
    • $r$ = rasio (perbandingan antar suku)
    • $n$ = nomor suku
    • $S_n$ = jumlah n suku pertama

Contoh Soal 1 (Barisan Aritmetika):

Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian. Panjang potongan tali membentuk barisan aritmetika. Jika panjang potongan tali terpendek adalah 10 cm dan potongan terpanjang adalah 50 cm, tentukan panjang seluruh tali tersebut!

Pembahasan:

Diketahui:

• Jumlah potongan tali ($n$) = 5
• Potongan terpendek (suku pertama, $a$) = 10 cm
• Potongan terpanjang (suku ke-5, $U_5$) = 50 cm

Kita perlu mencari jumlah seluruh tali, yaitu $S_5$.
Rumus jumlah n suku pertama barisan aritmetika adalah $S_n = fracn2(a + U_n)$.
Dalam kasus ini, $n=5$, $a=10$, dan $U_5=50$.

$S_5 = frac52(10 + 50)$
$S_5 = frac52(60)$
$S_5 = 5 times 30$
$S_5 = 150$ cm

Jadi, panjang seluruh tali tersebut adalah 150 cm.

Contoh Soal 2 (Barisan Geometri):

Sebuah bakteri membelah diri menjadi dua setiap jam. Jika pada awal pengamatan terdapat 5 bakteri, berapakah jumlah bakteri setelah 6 jam?

Pembahasan:

Diketahui:

• Jumlah bakteri awal (suku pertama, $a$) = 5
• Rasio pembelahan (rasio, $r$) = 2 (karena membelah diri menjadi dua)
• Waktu pengamatan = 6 jam. Kita perlu mencari jumlah bakteri setelah 6 jam, yang berarti kita mencari suku ke-7 ($n=7$, karena awal pengamatan dihitung sebagai jam ke-0 atau suku pertama).

Rumus suku ke-n barisan geometri adalah $U_n = a cdot r^n-1$.
Dalam kasus ini, kita mencari $U_7$, dengan $a=5$, $r=2$, dan $n=7$.

$U_7 = 5 cdot 2^7-1$
$U_7 = 5 cdot 2^6$
$U_7 = 5 cdot 64$
$U_7 = 320$

Jadi, jumlah bakteri setelah 6 jam adalah 320 bakteri.

>

Bab 2: Trigonometri Dasar

Trigonometri mempelajari hubungan antara sudut dan sisi-sisi segitiga siku-siku. Di kelas 10, Anda akan diperkenalkan dengan perbandingan trigonometri dasar (sinus, cosinus, tangen) dan beberapa identitas dasar.

Konsep Penting:

Pada segitiga siku-siku dengan sudut $alpha$:

• $sin alpha = fractextsisi depantextsisi miring$
• $cos alpha = fractextsisi sampingtextsisi miring$
• $tan alpha = fractextsisi depantextsisi samping = fracsin alphacos alpha$

Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa (0°, 30°, 45°, 60°, 90°):

Sudut (α)	$sin alpha$	$cos alpha$	$tan alpha$
0°	0	1	0
30°	1/2	$sqrt3/2$	$1/sqrt3$
45°	$sqrt2/2$	$sqrt2/2$	1
60°	$sqrt3/2$	1/2	$sqrt3$
90°	1	0	Tidak terdefinisi

Contoh Soal 3:

Sebuah tiang bendera memiliki tinggi 8 meter. Jika sudut elevasi dari seorang pengamat yang berdiri 10 meter dari pangkal tiang ke puncak tiang adalah $45^circ$, tentukan tinggi tiang bendera tersebut berdasarkan data pengamat.

Pembahasan:

Situasi ini dapat digambarkan sebagai segitiga siku-siku, di mana:

• Tinggi tiang bendera adalah sisi depan sudut elevasi.
• Jarak pengamat dari pangkal tiang adalah sisi samping sudut elevasi.
• Sudut elevasi adalah $45^circ$.

Kita perlu mencari tinggi tiang bendera (sisi depan). Kita memiliki sisi samping dan sudut. Perbandingan trigonometri yang menghubungkan sisi depan dan sisi samping adalah tangen.

Misalkan tinggi tiang bendera adalah $t$.
$tan alpha = fractextsisi depantextsisi samping$
$tan 45^circ = fract10 text meter$

Kita tahu bahwa $tan 45^circ = 1$.
$1 = fract10$
$t = 1 times 10$
$t = 10$ meter

Jadi, berdasarkan data pengamat, tinggi tiang bendera adalah 10 meter. (Perhatikan bahwa dalam soal ini, data tinggi tiang bendera yang diberikan (8 meter) berbeda dengan hasil perhitungan (10 meter). Ini bisa jadi untuk menguji pemahaman konsep, atau bisa juga ada kesalahan dalam data soalnya. Fokuslah pada penerapan rumus.)

Contoh Soal 4:

Diketahui segitiga siku-siku PQR dengan sudut siku-siku di Q. Jika $PQ = 12$ cm dan $QR = 5$ cm, hitunglah nilai $sin R$ dan $cos R$.

Pembahasan:

Pertama, kita perlu mencari panjang sisi miring PR menggunakan Teorema Pythagoras.
$PR^2 = PQ^2 + QR^2$
$PR^2 = 12^2 + 5^2$
$PR^2 = 144 + 25$
$PR^2 = 169$
$PR = sqrt169 = 13$ cm

Sekarang kita dapat menghitung $sin R$ dan $cos R$.
Untuk sudut R:

• Sisi depan R adalah PQ = 12 cm.
• Sisi samping R adalah QR = 5 cm.
• Sisi miring adalah PR = 13 cm.

$sin R = fractextsisi depantextsisi miring = fracPQPR = frac1213$

$cos R = fractextsisi sampingtextsisi miring = fracQRPR = frac513$

Jadi, $sin R = frac1213$ dan $cos R = frac513$.

>

Bab 3: Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial berderajat dua, yang umumnya berbentuk $f(x) = ax^2 + bx + c$. Grafiknya berbentuk parabola. Memahami fungsi kuadrat penting untuk memodelkan berbagai fenomena yang memiliki bentuk parabola.

Konsep Penting:

• Bentuk Umum: $f(x) = ax^2 + bx + c$
• Arah Parabola:
  • Jika $a > 0$, parabola terbuka ke atas (memiliki titik minimum).
  • Jika $a < 0$, parabola terbuka ke bawah (memiliki titik maksimum).
• Sumbu Simetri: $x = -fracb2a$
• Koordinat Titik Puncak (Minimum/Maksimum): $(x_p, y_p)$, di mana $x_p = -fracb2a$ dan $y_p = f(x_p)$.
• Perpotongan dengan Sumbu Y: Terjadi ketika $x=0$, sehingga $f(0) = c$. Titiknya adalah $(0, c)$.
• Perpotongan dengan Sumbu X (Akar-akar Persamaan Kuadrat): Terjadi ketika $f(x) = 0$. Dapat dicari dengan pemfaktoran, rumus kuadrat (rumus ABC), atau melengkapi kuadrat sempurna.

Contoh Soal 5:

Tentukan titik puncak, sumbu simetri, dan titik potong sumbu Y dari fungsi kuadrat $f(x) = x^2 – 6x + 8$.

Pembahasan:

Fungsi kuadratnya adalah $f(x) = x^2 – 6x + 8$.
Dari bentuk ini, kita peroleh:

• $a = 1$
• $b = -6$
• $c = 8$

Karena $a = 1 > 0$, parabola terbuka ke atas dan memiliki titik puncak minimum.

1. Sumbu Simetri:
   $x = -fracb2a = -frac-62(1) = frac62 = 3$.
   Jadi, sumbu simetrinya adalah garis $x = 3$.

2. Titik Puncak:
   Koordinat x dari titik puncak adalah $x_p = 3$.
   Untuk mencari koordinat y, substitusikan $x_p$ ke dalam fungsi:
   $y_p = f(3) = (3)^2 – 6(3) + 8$
   $y_p = 9 – 18 + 8$
   $y_p = -1$
   Jadi, titik puncaknya adalah $(3, -1)$.

3. Titik Potong Sumbu Y:
   Terjadi ketika $x=0$.
   $f(0) = (0)^2 – 6(0) + 8 = 8$.
   Jadi, titik potong sumbu Y adalah $(0, 8)$.

Contoh Soal 6:

Sebuah bola dilempar ke udara. Ketinggian bola ($h$) dalam meter setelah $t$ detik dinyatakan oleh fungsi $h(t) = -5t^2 + 20t$. Tentukan ketinggian maksimum bola dan waktu yang dibutuhkan untuk mencapai ketinggian maksimum tersebut.

Pembahasan:

Fungsi ketinggian bola adalah $h(t) = -5t^2 + 20t$.
Ini adalah fungsi kuadrat dengan:

• $a = -5$
• $b = 20$
• $c = 0$

Karena $a = -5 < 0$, parabola terbuka ke bawah, sehingga fungsi ini memiliki nilai maksimum. Nilai maksimum ini merepresentasikan ketinggian maksimum bola.

1. Waktu untuk mencapai ketinggian maksimum:
   Ini adalah koordinat x dari titik puncak fungsi kuadrat.
   $t_puncak = -fracb2a = -frac202(-5) = -frac20-10 = 2$ detik.

2. Ketinggian maksimum bola:
   Ini adalah koordinat y dari titik puncak fungsi kuadrat. Substitusikan $tpuncak$ ke dalam fungsi $h(t)$.
   $hmax = h(2) = -5(2)^2 + 20(2)$
   $hmax = -5(4) + 40$
   $hmax = -20 + 40$
   $h_max = 20$ meter.

Jadi, ketinggian maksimum bola adalah 20 meter, dan waktu yang dibutuhkan untuk mencapai ketinggian maksimum adalah 2 detik.

>

Bab 4: Vektor

Vektor adalah besaran yang memiliki nilai (besar) dan arah. Vektor digunakan dalam berbagai bidang seperti fisika (gaya, kecepatan, percepatan) dan geometri.

Konsep Penting:

• Vektor di Bidang (2D): Dapat dinyatakan dalam bentuk komponen $(x, y)$ atau $xmathbfi + ymathbfj$.
• Vektor di Ruang (3D): Dapat dinyatakan dalam bentuk komponen $(x, y, z)$ atau $xmathbfi + ymathbfj + zmathbfk$.
• Besar Vektor:
  • Untuk $vecv = (x, y)$, $|vecv| = sqrtx^2 + y^2$
  • Untuk $vecv = (x, y, z)$, $|vecv| = sqrtx^2 + y^2 + z^2$
• Operasi Vektor:
  • Penjumlahan: $vecu + vecv = (u_x+v_x, u_y+v_y)$
  • Pengurangan: $vecu – vecv = (u_x-v_x, u_y-v_y)$
  • Perkalian dengan Skalar: $kvecv = (kx, ky)$
• Dot Product (Perkalian Titik):
  • $vecu cdot vecv = u_x v_x + u_y v_y$ (untuk 2D)
  • $vecu cdot vecv = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z$ (untuk 3D)
  • $vecu cdot vecv = |vecu| |vecv| cos theta$ (dimana $theta$ adalah sudut antara $vecu$ dan $vecv$)

Contoh Soal 7:

Diketahui vektor $veca = (3, -2)$ dan vektor $vecb = (1, 4)$. Tentukan:
a. $veca + vecb$
b. $2veca – vecb$
c. Besar vektor $veca$

Pembahasan:

a. Penjumlahan Vektor:
$veca + vecb = (3, -2) + (1, 4) = (3+1, -2+4) = (4, 2)$.

b. Pengurangan Vektor dan Perkalian Skalar:
Pertama, hitung $2veca$:
$2veca = 2 times (3, -2) = (2 times 3, 2 times -2) = (6, -4)$.
Kemudian, hitung $2veca – vecb$:
$2veca – vecb = (6, -4) – (1, 4) = (6-1, -4-4) = (5, -8)$.

c. Besar Vektor:
Besar vektor $veca$ adalah $|veca|$.
$|veca| = sqrt(3)^2 + (-2)^2 = sqrt9 + 4 = sqrt13$.

Contoh Soal 8:

Diketahui vektor $vecp = (2, -1, 3)$ dan vektor $vecq = (1, 5, -2)$. Tentukan hasil dari $vecp cdot vecq$.

Pembahasan:

Untuk menghitung perkalian titik (dot product) dari dua vektor di ruang 3D, kita gunakan rumus:
$vecp cdot vecq = p_x q_x + p_y q_y + p_z q_z$

Diketahui:

• $p_x = 2, p_y = -1, p_z = 3$
• $q_x = 1, q_y = 5, q_z = -2$

$vecp cdot vecq = (2)(1) + (-1)(5) + (3)(-2)$
$vecp cdot vecq = 2 – 5 – 6$
$vecp cdot vecq = -9$

Jadi, hasil dari $vecp cdot vecq$ adalah -9.

>

Penutup

Menguasai materi Matematika Kelas 10 SMK Semester 1 adalah langkah awal yang sangat penting. Dengan memahami konsep dasar dari barisan dan deret, trigonometri, fungsi kuadrat, dan vektor, Anda akan lebih siap menghadapi materi-materi yang lebih kompleks di semester berikutnya maupun di jenjang yang lebih tinggi.

Kunci keberhasilan adalah konsistensi dalam belajar dan berlatih. Jangan ragu untuk bertanya kepada guru jika ada materi yang belum dipahami. Kerjakan berbagai variasi soal agar pemahaman Anda semakin mendalam. Selamat belajar dan semoga sukses!

>