Contoh soal matematika kelas 10 smk semester 1 dan penyelesaiannya

Menguasai Matematika Kelas 10 SMK Semester 1: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal dan Penyelesaian

Matematika seringkali menjadi momok bagi sebagian siswa, namun di jenjang SMK, pemahaman konsep matematika bukan hanya sekadar mata pelajaran, melainkan fondasi penting untuk menguasai berbagai keterampilan teknis yang akan dipelajari di semester-semester berikutnya dan dunia kerja. Semester 1 kelas 10 SMK biasanya memperkenalkan topik-topik fundamental yang krusial. Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal penting dari materi kelas 10 SMK semester 1, lengkap dengan penjelasan langkah demi langkah penyelesaiannya, untuk membantu Anda menguasai materi ini dengan percaya diri.

Bab 1: Logika Matematika – Dasar Penalaran yang Kuat

Logika matematika adalah tentang membangun penalaran yang sahih dan terstruktur. Memahaminya akan membantu kita dalam menganalisis pernyataan, menarik kesimpulan yang benar, dan menghindari kekeliruan berpikir.

Konsep Kunci:

• Pernyataan (Proposisi): Kalimat yang dapat bernilai benar (True/T) atau salah (False/F).
• Negasi (Ingkaran): Kebalikan nilai kebenaran dari sebuah pernyataan. Jika P benar, maka ~P salah, dan sebaliknya.
• Konjungsi (Dan): Pernyataan majemuk yang bernilai benar hanya jika kedua komponennya benar. Dilambangkan dengan $land$.
• Disjungsi (Atau): Pernyataan majemuk yang bernilai salah hanya jika kedua komponennya salah. Dilambangkan dengan $lor$.
• Implikasi (Jika… Maka…): Pernyataan majemuk yang bernilai salah hanya jika pernyataan pertama benar dan pernyataan kedua salah. Dilambangkan dengan $rightarrow$.
• Biimplikasi (Jika dan Hanya Jika): Pernyataan majemuk yang bernilai benar jika kedua komponennya memiliki nilai kebenaran yang sama (sama-sama benar atau sama-sama salah). Dilambangkan dengan $leftrightarrow$.

Contoh Soal 1:
Diketahui pernyataan:
P: "Semua siswa SMK rajin belajar."
Q: "Beberapa siswa SMK pandai bernyanyi."

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut:
a. ~P (Negasi P)
b. P $land$ Q (P dan Q)
c. P $lor$ Q (P atau Q)
d. Jika P, maka Q (P $rightarrow$ Q)

Penyelesaian:
Pertama, kita perlu menentukan nilai kebenaran dari P dan Q.

• P: "Semua siswa SMK rajin belajar." Pernyataan ini salah (F) karena pasti ada siswa SMK yang tidak rajin belajar.
• Q: "Beberapa siswa SMK pandai bernyanyi." Pernyataan ini benar (T) karena tidak semua siswa SMK pandai bernyanyi, tetapi pasti ada beberapa yang pandai.

Sekarang kita analisis setiap opsi:

a. ~P (Negasi P):
Negasi dari "Semua siswa SMK rajin belajar" adalah "Tidak semua siswa SMK rajin belajar" atau "Ada siswa SMK yang tidak rajin belajar."
Karena P salah, maka ~P bernilai benar (T).

b. P $land$ Q (P dan Q):
Untuk konjungsi (dan), nilai kebenarannya benar jika kedua komponen benar.
P (F) $land$ Q (T) = Salah (F).

c. P $lor$ Q (P atau Q):
Untuk disjungsi (atau), nilai kebenarannya salah jika kedua komponen salah.
P (F) $lor$ Q (T) = Benar (T).

d. Jika P, maka Q (P $rightarrow$ Q):
Untuk implikasi (jika… maka…), nilai kebenarannya salah hanya jika pernyataan pertama benar dan pernyataan kedua salah.
P (F) $rightarrow$ Q (T) = Benar (T). (Karena pernyataan pertama salah, implikasi bernilai benar, apapun nilai kebenaran pernyataan kedua).

Contoh Soal 2:
Tentukan negasi dari pernyataan "Jika hari ini hujan, maka saya membawa payung."

Penyelesaian:
Bentuk implikasi ini adalah P $rightarrow$ Q, di mana:
P: "Hari ini hujan."
Q: "Saya membawa payung."

Negasi dari P $rightarrow$ Q adalah P $land$ ~Q.
Jadi, negasinya adalah "Hari ini hujan dan saya tidak membawa payung."

Bab 2: Fungsi – Pemetaan yang Terstruktur

Fungsi adalah konsep fundamental dalam matematika yang menggambarkan hubungan antara dua himpunan, di mana setiap elemen di himpunan pertama dipetakan ke tepat satu elemen di himpunan kedua.

Konsep Kunci:

• Domain: Himpunan asal (input).
• Kodomain: Himpunan kawan (potensi output).
• Range (Daerah Hasil): Himpunan nilai output yang sebenarnya dihasilkan oleh fungsi.
• Menentukan apakah suatu relasi adalah fungsi: Setiap elemen domain harus memiliki tepat satu pasangan di kodomain.

Contoh Soal 3:
Diketahui himpunan A = 1, 2, 3 dan himpunan B = a, b, c, d. Relasi R dari A ke B dinyatakan sebagai pasangan berurutan: R = (1, a), (2, b), (3, c).
Apakah R merupakan fungsi dari A ke B? Jika ya, tentukan domain, kodomain, dan range.

Penyelesaian:
Untuk menentukan apakah R adalah fungsi, kita periksa apakah setiap elemen di himpunan A memiliki tepat satu pasangan di himpunan B.

• Elemen 1 di A berpasangan dengan ‘a’ di B (satu pasangan).
• Elemen 2 di A berpasangan dengan ‘b’ di B (satu pasangan).
• Elemen 3 di A berpasangan dengan ‘c’ di B (satu pasangan).

Karena setiap elemen di A memiliki tepat satu pasangan di B, maka R adalah sebuah fungsi.

• Domain: Himpunan semua elemen pertama dari pasangan berurutan.
  Domain R = 1, 2, 3 (yaitu, himpunan A).

• Kodomain: Himpunan semua elemen kedua yang mungkin.
  Kodomain R = a, b, c, d (yaitu, himpunan B).

• Range (Daerah Hasil): Himpunan semua elemen kedua yang benar-benar dipasangkan.
  Range R = a, b, c.

Contoh Soal 4:
Diketahui fungsi $f(x) = 3x – 2$. Tentukan nilai dari:
a. $f(4)$
b. $f(-1)$
c. $f(a+1)$

Penyelesaian:
Untuk menentukan nilai fungsi, kita substitusikan nilai $x$ ke dalam rumus fungsi.

a. $f(4)$:
Ganti setiap $x$ dengan 4.
$f(4) = 3(4) – 2$
$f(4) = 12 – 2$
$f(4) = 10$

b. $f(-1)$:
Ganti setiap $x$ dengan -1.
$f(-1) = 3(-1) – 2$
$f(-1) = -3 – 2$
$f(-1) = -5$

c. $f(a+1)$:
Ganti setiap $x$ dengan $(a+1)$.
$f(a+1) = 3(a+1) – 2$
$f(a+1) = 3a + 3 – 2$
$f(a+1) = 3a + 1$

Bab 3: Persamaan dan Pertidaksamaan Linear – Dasar Aljabar

Memahami cara menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan linear adalah keterampilan dasar yang sangat penting dalam matematika dan aplikasinya.

Konsep Kunci:

• Persamaan Linear Satu Variabel: Persamaan di mana pangkat tertinggi variabelnya adalah 1. Solusinya adalah nilai variabel yang membuat persamaan bernilai benar.
• Pertidaksamaan Linear Satu Variabel: Mirip dengan persamaan, tetapi menggunakan simbol pertidaksamaan (<, >, $leq$, $geq$). Solusinya adalah rentang nilai variabel.
• Sifat-sifat Aljabar: Sifat distributif, asosiatif, komutatif, serta operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian pada kedua sisi persamaan/pertidaksamaan.

Contoh Soal 5:
Selesaikan persamaan linear berikut untuk nilai $x$:
$5(x – 2) + 3 = 2x + 7$

Penyelesaian:
Tujuan kita adalah mengisolasi variabel $x$ di salah satu sisi persamaan.

1. Distribusikan: Kalikan 5 dengan setiap suku di dalam kurung.
   $5x – 10 + 3 = 2x + 7$

2. Sederhanakan sisi kiri: Gabungkan konstanta -10 dan +3.
   $5x – 7 = 2x + 7$

3. Pindahkan suku yang mengandung $x$ ke satu sisi: Kurangi kedua sisi dengan $2x$.
   $5x – 2x – 7 = 2x – 2x + 7$
   $3x – 7 = 7$

4. Pindahkan konstanta ke sisi lain: Tambahkan 7 ke kedua sisi.
   $3x – 7 + 7 = 7 + 7$
   $3x = 14$

5. Isolasi $x$: Bagi kedua sisi dengan 3.
   $frac3x3 = frac143$
   $x = frac143$

Jadi, solusi dari persamaan tersebut adalah $x = frac143$.

Contoh Soal 6:
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut dan tuliskan solusinya dalam bentuk notasi interval:
$2(3x + 1) geq 5x – 4$

Penyelesaian:
Langkah-langkahnya mirip dengan menyelesaikan persamaan, namun kita harus berhati-hati ketika mengalikan atau membagi kedua sisi dengan bilangan negatif (yang akan membalik tanda pertidaksamaan).

1. Distribusikan: Kalikan 2 dengan setiap suku di dalam kurung.
   $6x + 2 geq 5x – 4$

2. Pindahkan suku yang mengandung $x$ ke satu sisi: Kurangi kedua sisi dengan $5x$.
   $6x – 5x + 2 geq 5x – 5x – 4$
   $x + 2 geq -4$

3. Pindahkan konstanta ke sisi lain: Kurangi kedua sisi dengan 2.
   $x + 2 – 2 geq -4 – 2$
   $x geq -6$

Solusi dari pertidaksamaan ini adalah semua nilai $x$ yang lebih besar dari atau sama dengan -6.

Dalam notasi interval, solusi ini ditulis sebagai $[-6, infty)$. Tanda kurung siku ‘[‘ menunjukkan bahwa -6 termasuk dalam solusi, sedangkan tanda kurung biasa ‘(‘ menunjukkan bahwa tak terhingga tidak termasuk.

Bab 4: Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) – Hubungan Linier

SPLDV melibatkan dua atau lebih persamaan linear yang memiliki dua variabel yang sama. Menemukan solusi SPLDV berarti menemukan pasangan nilai variabel yang memenuhi semua persamaan secara bersamaan.

Konsep Kunci:

• Metode Substitusi: Menyelesaikan salah satu persamaan untuk satu variabel, lalu menggantikan ekspresi tersebut ke persamaan lainnya.
• Metode Eliminasi: Mengalikan persamaan dengan konstanta agar koefisien salah satu variabel sama (atau berlawanan), lalu menjumlahkan atau mengurangkan persamaan tersebut untuk menghilangkan variabel.
• Metode Grafik: Menggambarkan kedua persamaan pada sistem koordinat. Titik potong kedua garis adalah solusi SPLDV.

Contoh Soal 7:
Tentukan solusi dari sistem persamaan linear berikut menggunakan metode substitusi:
1) $x + 2y = 7$
2) $3x – y = 0$

Penyelesaian (Metode Substitusi):

1. Pilih salah satu persamaan dan selesaikan untuk satu variabel.
   Dari persamaan (2), lebih mudah menyelesaikan untuk $y$:
   $3x – y = 0$
   $-y = -3x$
   $y = 3x$

2. Substitusikan ekspresi ini ke persamaan lainnya.
   Ganti $y$ dengan $3x$ di persamaan (1):
   $x + 2(3x) = 7$

3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk variabel yang tersisa.
   $x + 6x = 7$
   $7x = 7$
   $x = 1$

4. Substitusikan nilai variabel yang ditemukan kembali ke salah satu persamaan awal (atau ekspresi yang diselesaikan) untuk menemukan nilai variabel lainnya.
   Kita gunakan ekspresi $y = 3x$:
   $y = 3(1)$
   $y = 3$

Jadi, solusi dari SPLDV ini adalah $x = 1$ dan $y = 3$, atau dapat ditulis sebagai pasangan berurutan (1, 3).

Contoh Soal 8:
Tentukan solusi dari sistem persamaan linear berikut menggunakan metode eliminasi:
1) $2x + 3y = 16$
2) $x – y = 2$

Penyelesaian (Metode Eliminasi):

1. Pilih variabel yang akan dieliminasi. Kita bisa memilih untuk mengeliminasi $x$ atau $y$. Mari kita eliminasi $y$.

2. Samakan koefisien variabel yang dipilih.
   Agar koefisien $y$ sama (atau berlawanan), kita kalikan persamaan (2) dengan 3:
   Persamaan (1): $2x + 3y = 16$
   Persamaan (2) dikali 3: $3(x – y) = 3(2) implies 3x – 3y = 6$

3. Jumlahkan atau kurangkan persamaan untuk mengeliminasi variabel.
   Karena koefisien $y$ pada persamaan (1) adalah +3 dan pada persamaan yang dimodifikasi (2) adalah -3, kita bisa menjumlahkan kedua persamaan:
   $(2x + 3y) + (3x – 3y) = 16 + 6$
   $2x + 3x + 3y – 3y = 22$
   $5x = 22$

4. Selesaikan untuk variabel yang tersisa.
   $x = frac225$

5. Substitusikan nilai variabel yang ditemukan kembali ke salah satu persamaan awal untuk menemukan nilai variabel lainnya.
   Kita gunakan persamaan (2): $x – y = 2$
   $frac225 – y = 2$
   $-y = 2 – frac225$
   $-y = frac105 – frac225$
   $-y = -frac125$
   $y = frac125$

Jadi, solusi dari SPLDV ini adalah $x = frac225$ dan $y = frac125$, atau dapat ditulis sebagai pasangan berurutan $(frac225, frac125)$.

Penutup

Menguasai contoh-contoh soal di atas adalah langkah awal yang krusial untuk membangun pemahaman yang kuat dalam matematika kelas 10 SMK semester 1. Ingatlah bahwa latihan yang konsisten adalah kunci. Cobalah untuk memecahkan soal-soal serupa dari buku teks Anda atau sumber lain. Jika Anda mengalami kesulitan, jangan ragu untuk bertanya kepada guru atau teman. Dengan dedikasi dan strategi belajar yang tepat, Anda pasti bisa meraih keberhasilan dalam matematika.

>