Contoh soal matematika kelas 11 ips semester 1
Menguasai Matematika Kelas 11 IPS Semester 1: Kumpulan Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam
Matematika seringkali dianggap sebagai mata pelajaran yang menantang, terutama bagi siswa jurusan Ilmu Pengetahuan Sosial (IPS). Namun, pemahaman yang kuat terhadap konsep-konsep matematika dasar dan terapan sangat krusial untuk menganalisis data, membuat keputusan yang tepat, dan memahami berbagai fenomena sosial yang kompleks. Semester 1 kelas 11 IPS menjadi gerbang awal bagi siswa untuk mendalami topik-topik matematika yang lebih relevan dengan bidang studi mereka, seperti statistika, peluang, dan fungsi.
Artikel ini hadir untuk membantu Anda menguasai materi matematika kelas 11 IPS semester 1 dengan menyediakan kumpulan contoh soal yang bervariasi, lengkap dengan pembahasan mendalam. Dengan memahami setiap langkah penyelesaian, Anda akan lebih percaya diri dalam menghadapi ulangan harian, Penilaian Tengah Semester (PTS), hingga Penilaian Akhir Semester (PAS).
Topik Utama Matematika Kelas 11 IPS Semester 1
Pada semester 1 kelas 11 IPS, umumnya materi matematika akan berfokus pada:
- Statistika Deskriptif: Pengumpulan, penyajian, dan interpretasi data dalam bentuk tabel, diagram, serta perhitungan ukuran pemusatan (mean, median, modus) dan ukuran penyebaran (jangkauan, kuartil, simpangan baku).
- Peluang: Konsep dasar peluang kejadian, kejadian saling lepas, kejadian saling bebas, peluang bersyarat, dan penerapannya dalam berbagai situasi.
- Fungsi: Konsep fungsi, notasi fungsi, domain, kodomain, range, serta operasi pada fungsi dan komposisi fungsi.
Mari kita selami contoh-contoh soal dari setiap topik tersebut.
Bagian 1: Statistika Deskriptif
Statistika deskriptif adalah alat penting untuk memahami karakteristik data. Kemampuan mengolah dan menyajikan data dengan baik sangat berguna dalam analisis ekonomi, sosial, maupun kependudukan.
Contoh Soal 1 (Ukuran Pemusatan):
Data nilai ujian matematika 20 siswa kelas XI IPS adalah sebagai berikut:
75, 80, 70, 85, 90, 75, 80, 85, 70, 75,
90, 80, 75, 85, 90, 70, 80, 75, 85, 90
Tentukan:
a. Mean (Rata-rata)
b. Median (Nilai Tengah)
c. Modus (Nilai yang Paling Sering Muncul)
Pembahasan:
a. Menghitung Mean:
Mean dihitung dengan menjumlahkan seluruh nilai data kemudian dibagi dengan jumlah data.
Jumlah data (n) = 20
Langkah pertama, jumlahkan semua nilai:
75 + 80 + 70 + 85 + 90 + 75 + 80 + 85 + 70 + 75 + 90 + 80 + 75 + 85 + 90 + 70 + 80 + 75 + 85 + 90 = 1680
Mean = $fractextJumlah DatatextBanyak Data$ = $frac168020$ = 84
Jadi, mean nilai ujian matematika adalah 84.
b. Menghitung Median:
Median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan.
Urutkan data dari yang terkecil hingga terbesar:
70, 70, 70, 75, 75, 75, 75, 75, 75, 80, 80, 80, 80, 80, 85, 85, 85, 85, 90, 90, 90, 90
Karena jumlah data genap (n=20), median adalah rata-rata dari dua nilai tengah. Posisi dua nilai tengah adalah $fracn2$ dan $fracn2 + 1$.
Posisi median ke-10 dan ke-11.
Data ke-10 adalah 80.
Data ke-11 adalah 80.
Median = $fractextData ke-10 + textData ke-112$ = $frac80 + 802$ = 80
Jadi, median nilai ujian matematika adalah 80.
c. Menghitung Modus:
Modus adalah nilai yang paling sering muncul dalam kumpulan data. Mari kita hitung frekuensi kemunculan setiap nilai:
- 70: 3 kali
- 75: 6 kali
- 80: 5 kali
- 85: 4 kali
- 90: 4 kali
Nilai yang paling sering muncul adalah 75 (muncul 6 kali).
Jadi, modus nilai ujian matematika adalah 75.
>
Contoh Soal 2 (Penyajian Data dan Ukuran Penyebaran):
Tabel berikut menunjukkan data tinggi badan (dalam cm) 30 siswa kelas XI IPS 2:
| Tinggi Badan (cm) | Frekuensi |
|---|---|
| 150 – 154 | 3 |
| 155 – 159 | 7 |
| 160 – 164 | 10 |
| 165 – 169 | 6 |
| 170 – 174 | 4 |
Tentukan:
a. Jangkauan (Range) dari data tersebut.
b. Kuartil bawah ($Q_1$) dari data tersebut.
Pembahasan:
a. Menghitung Jangkauan:
Jangkauan adalah selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil. Untuk data berkelompok, kita gunakan batas atas kelas tertinggi dan batas bawah kelas terendah.
Batas atas kelas tertinggi = 174
Batas bawah kelas terendah = 150
Jangkauan = Batas atas kelas tertinggi – Batas bawah kelas terendah
Jangkauan = 174 – 150 = 24
Jadi, jangkauan tinggi badan siswa adalah 24 cm.
b. Menghitung Kuartil Bawah ($Q_1$):
Kuartil bawah ($Q_1$) adalah nilai yang membagi 25% data terbawah dari keseluruhan data. Rumus untuk kuartil data berkelompok adalah:
$Q_k = L + left(fracfrack cdot n4 – F_if_kright) cdot p$
Dimana:
- $Q_k$ = Kuartil ke-k
- $L$ = Batas bawah kelas yang mengandung kuartil
- $n$ = Jumlah seluruh frekuensi
- $F_i$ = Jumlah frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil
- $f_k$ = Frekuensi kelas yang mengandung kuartil
- $p$ = Panjang interval kelas
Pertama, kita perlu menentukan kelas yang mengandung $Q_1$.
Jumlah data (n) = 3 + 7 + 10 + 6 + 4 = 30
Posisi $Q_1$ = $frac14 cdot n = frac14 cdot 30 = 7.5$. Ini berarti $Q_1$ berada pada data ke-7.5.
Mari kita buat tabel frekuensi kumulatif:
| Tinggi Badan (cm) | Frekuensi | Frekuensi Kumulatif |
|---|---|---|
| 150 – 154 | 3 | 3 |
| 155 – 159 | 7 | 3 + 7 = 10 |
| 160 – 164 | 10 | 10 + 10 = 20 |
| 165 – 169 | 6 | 20 + 6 = 26 |
| 170 – 174 | 4 | 26 + 4 = 30 |
Kelas yang mengandung data ke-7.5 adalah kelas kedua (155 – 159), karena frekuensi kumulatifnya mencapai 10.
Sekarang kita identifikasi nilai-nilai dalam rumus:
- $L$ = Batas bawah kelas $Q_1$ = 155
- $n$ = 30
- $frack cdot n4$ = $frac1 cdot 304$ = 7.5
- $F_i$ = Jumlah frekuensi kumulatif sebelum kelas $Q_1$ = 3 (frekuensi kelas 150-154)
- $f_k$ = Frekuensi kelas $Q_1$ = 7 (frekuensi kelas 155-159)
- $p$ = Panjang interval kelas. Untuk kelas 150-154, panjangnya adalah $154 – 150 + 1 = 5$.
Masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:
$Q_1 = 155 + left(frac7.5 – 37right) cdot 5$
$Q_1 = 155 + left(frac4.57right) cdot 5$
$Q_1 = 155 + (0.6428…) cdot 5$
$Q_1 = 155 + 3.214…$
$Q_1 approx 158.21$
Jadi, kuartil bawah tinggi badan siswa adalah sekitar 158.21 cm.
>
Bagian 2: Peluang
Konsep peluang sangat penting dalam pengambilan keputusan yang melibatkan ketidakpastian, seperti dalam analisis risiko finansial, pemodelan ekonomi, atau studi kependudukan.
Contoh Soal 3 (Peluang Kejadian Sederhana):
Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah, 3 bola biru, dan 2 bola hijau. Jika diambil satu bola secara acak, berapakah peluang terambil bola biru?
Pembahasan:
Jumlah seluruh bola dalam kotak = 5 (merah) + 3 (biru) + 2 (hijau) = 10 bola.
Jumlah bola biru = 3.
Peluang suatu kejadian adalah perbandingan antara jumlah kejadian yang diinginkan dengan jumlah seluruh kemungkinan kejadian.
P(Bola Biru) = $fractextJumlah Bola BirutextJumlah Seluruh Bola$
P(Bola Biru) = $frac310$
Jadi, peluang terambil bola biru adalah $frac310$ atau 0.3.
>
Contoh Soal 4 (Peluang Kejadian Saling Lepas):
Dua buah dadu dilempar bersamaan. Berapakah peluang muncul jumlah mata dadu 4 atau jumlah mata dadu 7?
Pembahasan:
Ruang sampel dari pelemparan dua dadu adalah 36 pasangan $(x, y)$, di mana $x$ adalah hasil dadu pertama dan $y$ adalah hasil dadu kedua.
n(S) = 36.
Misalkan kejadian A adalah muncul jumlah mata dadu 4.
Pasangan yang menghasilkan jumlah 4 adalah: (1,3), (2,2), (3,1).
Jumlah kejadian A, n(A) = 3.
Misalkan kejadian B adalah muncul jumlah mata dadu 7.
Pasangan yang menghasilkan jumlah 7 adalah: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1).
Jumlah kejadian B, n(B) = 6.
Kejadian A dan B adalah kejadian saling lepas karena tidak ada pasangan mata dadu yang menghasilkan jumlah 4 sekaligus jumlah 7.
P(A atau B) = P(A) + P(B)
P(A) = $fracn(A)n(S)$ = $frac336$
P(B) = $fracn(B)n(S)$ = $frac636$
P(A atau B) = $frac336 + frac636$ = $frac936$ = $frac14$
Jadi, peluang muncul jumlah mata dadu 4 atau jumlah mata dadu 7 adalah $frac14$ atau 0.25.
>
Contoh Soal 5 (Peluang Kejadian Saling Bebas):
Sebuah koin dilempar sebanyak 3 kali. Berapakah peluang muncul gambar pada lemparan pertama, angka pada lemparan kedua, dan gambar pada lemparan ketiga?
Pembahasan:
Setiap lemparan koin adalah kejadian yang saling bebas, artinya hasil satu lemparan tidak mempengaruhi hasil lemparan lainnya.
Ruang sampel satu kali lemparan koin adalah Angka, Gambar.
P(Gambar) = $frac12$
P(Angka) = $frac12$
Misalkan kejadian G1 adalah muncul gambar pada lemparan pertama.
Misalkan kejadian A2 adalah muncul angka pada lemparan kedua.
Misalkan kejadian G3 adalah muncul gambar pada lemparan ketiga.
Karena kejadian-kejadian ini saling bebas, maka peluang ketiganya terjadi adalah hasil perkalian peluang masing-masing kejadian.
P(G1 dan A2 dan G3) = P(G1) $times$ P(A2) $times$ P(G3)
P(G1 dan A2 dan G3) = $frac12 times frac12 times frac12$ = $frac18$
Jadi, peluang muncul gambar, angka, gambar secara berurutan adalah $frac18$.
>
Bagian 3: Fungsi
Konsep fungsi sangat mendasar dalam pemodelan matematika untuk menggambarkan hubungan antara dua variabel. Dalam IPS, fungsi dapat digunakan untuk memodelkan hubungan antara biaya dan produksi, permintaan dan penawaran, atau pertumbuhan populasi.
Contoh Soal 6 (Konsep Dasar Fungsi):
Diketahui fungsi $f(x) = 2x – 3$. Tentukan:
a. Nilai dari $f(5)$.
b. Nilai $x$ jika $f(x) = 7$.
Pembahasan:
a. Menentukan Nilai $f(5)$:
Untuk mencari nilai $f(5)$, kita substitusikan $x=5$ ke dalam rumus fungsi $f(x) = 2x – 3$.
$f(5) = 2(5) – 3$
$f(5) = 10 – 3$
$f(5) = 7$
Jadi, nilai dari $f(5)$ adalah 7.
b. Menentukan Nilai $x$ jika $f(x) = 7$:
Kita diberikan nilai hasil fungsi, yaitu $f(x) = 7$, dan kita perlu mencari nilai $x$ yang menghasilkan nilai tersebut.
$f(x) = 2x – 3$
$7 = 2x – 3$
Tambahkan 3 ke kedua ruas:
$7 + 3 = 2x$
$10 = 2x$
Bagi kedua ruas dengan 2:
$x = frac102$
$x = 5$
Jadi, nilai $x$ jika $f(x) = 7$ adalah 5.
>
Contoh Soal 7 (Operasi pada Fungsi):
Diketahui fungsi $f(x) = 3x + 1$ dan $g(x) = x^2 – 2$. Tentukan:
a. $(f+g)(x)$
b. $(f cdot g)(x)$
Pembahasan:
a. Menentukan $(f+g)(x)$:
Operasi penjumlahan dua fungsi $(f+g)(x)$ didefinisikan sebagai $f(x) + g(x)$.
$(f+g)(x) = f(x) + g(x)$
$(f+g)(x) = (3x + 1) + (x^2 – 2)$
$(f+g)(x) = 3x + 1 + x^2 – 2$
$(f+g)(x) = x^2 + 3x – 1$
Jadi, $(f+g)(x) = x^2 + 3x – 1$.
b. Menentukan $(f cdot g)(x)$:
Operasi perkalian dua fungsi $(f cdot g)(x)$ didefinisikan sebagai $f(x) cdot g(x)$.
$(f cdot g)(x) = f(x) cdot g(x)$
$(f cdot g)(x) = (3x + 1) cdot (x^2 – 2)$
Untuk mengalikan kedua ekspresi ini, kita gunakan sifat distributif (seperti perkalian FOIL):
$(f cdot g)(x) = 3x(x^2) + 3x(-2) + 1(x^2) + 1(-2)$
$(f cdot g)(x) = 3x^3 – 6x + x^2 – 2$
$(f cdot g)(x) = 3x^3 + x^2 – 6x – 2$
Jadi, $(f cdot g)(x) = 3x^3 + x^2 – 6x – 2$.
>
Contoh Soal 8 (Komposisi Fungsi):
Diketahui fungsi $f(x) = x + 4$ dan $g(x) = 2x – 1$. Tentukan:
a. $(f circ g)(x)$
b. $(g circ f)(x)$
Pembahasan:
a. Menentukan $(f circ g)(x)$:
Komposisi fungsi $(f circ g)(x)$ dibaca "f bundaran g dari x", yang berarti kita mensubstitusikan fungsi $g(x)$ ke dalam fungsi $f(x)$.
$(f circ g)(x) = f(g(x))$
Substitusikan $g(x) = 2x – 1$ ke dalam $f(x) = x + 4$:
$(f circ g)(x) = f(2x – 1)$
$(f circ g)(x) = (2x – 1) + 4$
$(f circ g)(x) = 2x + 3$
Jadi, $(f circ g)(x) = 2x + 3$.
b. Menentukan $(g circ f)(x)$:
Komposisi fungsi $(g circ f)(x)$ dibaca "g bundaran f dari x", yang berarti kita mensubstitusikan fungsi $f(x)$ ke dalam fungsi $g(x)$.
$(g circ f)(x) = g(f(x))$
Substitusikan $f(x) = x + 4$ ke dalam $g(x) = 2x – 1$:
$(g circ f)(x) = g(x + 4)$
$(g circ f)(x) = 2(x + 4) – 1$
$(g circ f)(x) = 2x + 8 – 1$
$(g circ f)(x) = 2x + 7$
Jadi, $(g circ f)(x) = 2x + 7$.
Perhatikan bahwa $(f circ g)(x) neq (g circ f)(x)$ dalam contoh ini, yang menunjukkan bahwa komposisi fungsi umumnya tidak komutatif.
>
Penutup
Menguasai materi matematika kelas 11 IPS semester 1 adalah fondasi penting untuk kesuksesan akademis Anda di jenjang selanjutnya, serta untuk kemampuan analisis di berbagai bidang studi sosial. Dengan berlatih secara konsisten menggunakan contoh-contoh soal seperti di atas, Anda akan membangun pemahaman yang kokoh dan kepercayaan diri yang lebih besar.
Ingatlah untuk selalu memahami konsep di balik setiap soal, bukan hanya menghafal rumus. Jika Anda menemui kesulitan, jangan ragu untuk bertanya kepada guru, teman, atau mencari sumber belajar tambahan. Selamat belajar dan semoga sukses!
>