Contoh soal matematika kelas 11 semester 1 beserta jawabannya smk

Menguasai Matematika Kelas 11 Semester 1 SMK: Kumpulan Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam

Matematika, seringkali dianggap sebagai mata pelajaran yang menantang, memegang peranan krusial dalam membentuk pola pikir logis dan analitis, keterampilan yang sangat dibutuhkan di dunia industri, terutama bagi siswa SMK. Memasuki semester pertama kelas 11, siswa SMK akan dipertemukan dengan berbagai konsep matematika baru yang menjadi dasar untuk pemahaman materi yang lebih kompleks di jenjang berikutnya, bahkan di dunia kerja.

Artikel ini hadir untuk membantu para siswa SMK kelas 11 semester 1 dalam mempersiapkan diri menghadapi berbagai tipe soal yang mungkin muncul. Kita akan membahas beberapa contoh soal pilihan ganda dan esai dari topik-topik kunci yang umum diajarkan pada semester ini, lengkap dengan pembahasan langkah demi langkah yang mudah dipahami. Tujuannya adalah agar siswa tidak hanya menghafal rumus, tetapi benar-benar memahami konsep di baliknya.

Topik Kunci Matematika Kelas 11 Semester 1 SMK:

Pada semester pertama kelas 11, fokus utama matematika SMK biasanya meliputi:

1. Program Linear: Meliputi konsep pertidaksamaan linear dua variabel, sistem pertidaksamaan linear, menentukan daerah penyelesaian, serta menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan metode grafik atau metode substitusi/eliminasi.
2. Matriks: Meliputi pengertian matriks, jenis-jenis matriks, operasi pada matriks (penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, perkalian matriks), transpose matriks, determinan matriks, dan invers matriks.
3. Transformasi Geometri: Meliputi konsep translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dilatasi (perbesaran/pengecilan), serta komposisi transformasi.

Mari kita selami contoh-contoh soal dari setiap topik tersebut.

>

Bagian 1: Program Linear – Mengoptimalkan Sumber Daya

Program linear adalah alat matematika yang sangat berguna untuk menyelesaikan masalah optimasi. Dalam konteks SMK, ini sering dikaitkan dengan masalah produksi, alokasi sumber daya, atau perencanaan bisnis.

Contoh Soal 1 (Pilihan Ganda):

Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut:
$2x + y ge 10$
$x + 3y le 15$
$x ge 0$
$y ge 0$

(A) Berada di kuadran I, di bawah garis $2x + y = 10$ dan di atas garis $x + 3y = 15$.
(B) Berada di kuadran I, di atas garis $2x + y = 10$ dan di bawah garis $x + 3y = 15$.
(C) Berada di kuadran I, di bawah garis $2x + y = 10$ dan di bawah garis $x + 3y = 15$.
(D) Berada di kuadran I, di atas garis $2x + y = 10$ dan di atas garis $x + 3y = 15$.
(E) Terletak di antara garis $2x + y = 10$ dan $x + 3y = 15$ pada kuadran I.

Pembahasan:

Langkah pertama adalah menggambar garis dari setiap pertidaksamaan.

• Garis 1: $2x + y = 10$

  • Jika $x=0$, maka $y=10$. Titik: $(0, 10)$.
  • Jika $y=0$, maka $2x=10$, $x=5$. Titik: $(5, 0)$.
  • Untuk menentukan daerah penyelesaian $2x + y ge 10$, kita uji titik $(0,0)$: $2(0) + 0 ge 10 implies 0 ge 10$ (Salah). Jadi, daerah penyelesaiannya berada di atas garis ini.

• Garis 2: $x + 3y = 15$

  • Jika $x=0$, maka $3y=15$, $y=5$. Titik: $(0, 5)$.
  • Jika $y=0$, maka $x=15$. Titik: $(15, 0)$.
  • Untuk menentukan daerah penyelesaian $x + 3y le 15$, kita uji titik $(0,0)$: $0 + 3(0) le 15 implies 0 le 15$ (Benar). Jadi, daerah penyelesaiannya berada di bawah garis ini.

• Kendala $x ge 0$ dan $y ge 0$ menunjukkan bahwa daerah penyelesaian hanya berada di Kuadran I.

Menggabungkan semua kondisi: daerah penyelesaian berada di Kuadran I, di atas garis $2x + y = 10$, dan di bawah garis $x + 3y = 15$.

Jawaban: (B)

>

Contoh Soal 2 (Esai):

Seorang pengusaha mebel memproduksi dua jenis meja, yaitu meja makan dan meja belajar. Untuk memproduksi satu unit meja makan, dibutuhkan 2 jam kerja untuk perakitan dan 1 jam kerja untuk finishing. Untuk memproduksi satu unit meja belajar, dibutuhkan 1 jam kerja untuk perakitan dan 2 jam kerja untuk finishing. Persediaan waktu kerja untuk perakitan adalah 80 jam per minggu, dan untuk finishing adalah 100 jam per minggu. Jika keuntungan dari satu unit meja makan adalah Rp 500.000, dan dari satu unit meja belajar adalah Rp 400.000, tentukan jumlah masing-masing meja yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimum.

Pembahasan:

Misalkan:

• $x$ = jumlah unit meja makan yang diproduksi
• $y$ = jumlah unit meja belajar yang diproduksi

1. Merumuskan Fungsi Tujuan (Keuntungan):
Keuntungan ($K$) adalah fungsi yang ingin dimaksimalkan.
$K(x, y) = 500.000x + 400.000y$

2. Merumuskan Kendala (Batasan Sumber Daya):

• Kendala Perakitan: $2x + 1y le 80$
• Kendala Finishing: $1x + 2y le 100$
• Kendala Non-negatif: $x ge 0$, $y ge 0$

3. Menentukan Daerah Penyelesaian (Menggunakan Metode Grafik):

• Garis 1 (Perakitan): $2x + y = 80$
  • Jika $x=0$, $y=80$. Titik: $(0, 80)$.
  • Jika $y=0$, $2x=80$, $x=40$. Titik: $(40, 0)$.
  • Daerahnya di bawah garis ini.
• Garis 2 (Finishing): $x + 2y = 100$
  • Jika $x=0$, $2y=100$, $y=50$. Titik: $(0, 50)$.
  • Jika $y=0$, $x=100$. Titik: $(100, 0)$.
  • Daerahnya di bawah garis ini.

Daerah penyelesaian dibatasi oleh Kuadran I, di bawah garis $2x+y=80$, dan di bawah garis $x+2y=100$.

4. Menentukan Titik-titik Sudut Daerah Penyelesaian:
Titik-titik sudutnya adalah:

• Titik O: $(0, 0)$
• Titik A (Perpotongan sumbu x dengan garis 1): $(40, 0)$
• Titik B (Perpotongan sumbu y dengan garis 2): $(0, 50)$
• Titik C (Perpotongan garis 1 dan garis 2):
  Kita selesaikan sistem persamaan:
  $2x + y = 80 implies y = 80 – 2x$
  Substitusikan ke persamaan kedua:
  $x + 2(80 – 2x) = 100$
  $x + 160 – 4x = 100$
  $-3x = 100 – 160$
  $-3x = -60$
  $x = 20$
  Substitusikan $x=20$ ke $y = 80 – 2x$:
  $y = 80 – 2(20) = 80 – 40 = 40$
  Jadi, titik C adalah $(20, 40)$.

5. Mengevaluasi Fungsi Tujuan di Setiap Titik Sudut:

• Di O $(0, 0)$: $K = 500.000(0) + 400.000(0) = 0$
• Di A $(40, 0)$: $K = 500.000(40) + 400.000(0) = 20.000.000$
• Di B $(0, 50)$: $K = 500.000(0) + 400.000(50) = 20.000.000$
• Di C $(20, 40)$: $K = 500.000(20) + 400.000(40) = 10.000.000 + 16.000.000 = 26.000.000$

Kesimpulan:
Keuntungan maksimum diperoleh ketika pengusaha memproduksi 20 unit meja makan dan 40 unit meja belajar, dengan keuntungan sebesar Rp 26.000.000.

>

Bagian 2: Matriks – Menyusun dan Mengolah Data

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam baris dan kolom. Dalam aplikasi nyata, matriks sering digunakan untuk merepresentasikan data, menyelesaikan sistem persamaan linear, dan dalam bidang grafis komputer.

Contoh Soal 3 (Pilihan Ganda):

Diketahui matriks $A = beginpmatrix 2 & -1 3 & 4 endpmatrix$ dan $B = beginpmatrix 1 & 5 -2 & 0 endpmatrix$. Hasil dari $A – 2B$ adalah…

(A) $beginpmatrix 0 & -11 7 & 4 endpmatrix$
(B) $beginpmatrix 0 & -11 7 & 8 endpmatrix$
(C) $beginpmatrix 0 & 11 7 & 4 endpmatrix$
(D) $beginpmatrix 4 & -11 7 & 4 endpmatrix$
(E) $beginpmatrix 4 & 11 7 & 8 endpmatrix$

Pembahasan:

Langkah pertama adalah menghitung $2B$:
$2B = 2 beginpmatrix 1 & 5 -2 & 0 endpmatrix = beginpmatrix 2 times 1 & 2 times 5 2 times (-2) & 2 times 0 endpmatrix = beginpmatrix 2 & 10 -4 & 0 endpmatrix$

Selanjutnya, hitung $A – 2B$:
$A – 2B = beginpmatrix 2 & -1 3 & 4 endpmatrix – beginpmatrix 2 & 10 -4 & 0 endpmatrix$
$A – 2B = beginpmatrix 2 – 2 & -1 – 10 3 – (-4) & 4 – 0 endpmatrix$
$A – 2B = beginpmatrix 0 & -11 3 + 4 & 4 endpmatrix$
$A – 2B = beginpmatrix 0 & -11 7 & 4 endpmatrix$

Jawaban: (A)

>

Contoh Soal 4 (Esai):

Tentukan determinan dari matriks $C = beginpmatrix 1 & 2 & 3 0 & -1 & 4 2 & 1 & 0 endpmatrix$ menggunakan metode Sarrus.

Pembahasan:

Metode Sarrus digunakan untuk mencari determinan matriks berordo 3×3. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Tulis ulang dua kolom pertama matriks di sebelah kanan matriks.

   $beginvmatrix 1 & 2 & 3 0 & -1 & 4 2 & 1 & 0 endvmatrix beginmatrix 1 & 2 0 & -1 2 & 1 endmatrix$

2. Jumlahkan hasil perkalian elemen-elemen pada diagonal dari kiri atas ke kanan bawah (garis biru).

   • $1 times (-1) times 0 = 0$
   • $2 times 4 times 2 = 16$
   • $3 times 0 times 1 = 0$
     Jumlah diagonal utama = $0 + 16 + 0 = 16$

3. Jumlahkan hasil perkalian elemen-elemen pada diagonal dari kanan atas ke kiri bawah (garis merah).

   • $3 times (-1) times 2 = -6$
   • $1 times 4 times 1 = 4$
   • $2 times 0 times 0 = 0$
     Jumlah diagonal sekunder = $-6 + 4 + 0 = -2$

4. Determinan matriks adalah selisih antara jumlah diagonal utama dan jumlah diagonal sekunder.

   Determinan $C = (textJumlah diagonal utama) – (textJumlah diagonal sekunder)$
   Determinan $C = 16 – (-2)$
   Determinan $C = 16 + 2$
   Determinan $C = 18$

Jawaban: Determinan dari matriks $C$ adalah 18.

>

Bagian 3: Transformasi Geometri – Mengubah Posisi dan Ukuran Bentuk

Transformasi geometri mempelajari perubahan posisi, ukuran, dan bentuk suatu objek. Ini sangat fundamental dalam desain grafis, animasi, dan berbagai aplikasi teknik.

Contoh Soal 5 (Pilihan Ganda):

Bayangan titik $P(3, -2)$ setelah ditranslasikan oleh vektor translasi $T = beginpmatrix -1 5 endpmatrix$ adalah $P’$. Koordinat titik $P’$ adalah…

(A) $(2, 3)$
(B) $(2, -7)$
(C) $(4, 3)$
(D) $(4, -7)$
(E) $(-2, -3)$

Pembahasan:

Rumus translasi untuk titik $P(x, y)$ oleh vektor translasi $T = beginpmatrix a b endpmatrix$ menghasilkan bayangan $P'(x’, y’)$ dengan:
$x’ = x + a$
$y’ = y + b$

Dalam soal ini, $P(3, -2)$ dan $T = beginpmatrix -1 5 endpmatrix$. Maka:
$x’ = 3 + (-1) = 3 – 1 = 2$
$y’ = -2 + 5 = 3$

Jadi, koordinat bayangan titik $P’$ adalah $(2, 3)$.

Jawaban: (A)

>

Contoh Soal 6 (Esai):

Sebuah segitiga memiliki titik-titik sudut $A(1, 2)$, $B(4, 3)$, dan $C(2, 5)$. Tentukan koordinat bayangan segitiga tersebut setelah direfleksikan terhadap sumbu Y, dilanjutkan dengan rotasi 90 derajat searah jarum jam terhadap titik asal $(0,0)$.

Pembahasan:

Kita akan melakukan transformasi secara berurutan.

Langkah 1: Refleksi terhadap Sumbu Y

Rumus refleksi terhadap sumbu Y untuk titik $(x, y)$ adalah $(-x, y)$.

• Bayangan titik $A(1, 2)$ adalah $A'(-1, 2)$.
• Bayangan titik $B(4, 3)$ adalah $B'(-4, 3)$.
• Bayangan titik $C(2, 5)$ adalah $C'(-2, 5)$.

Jadi, setelah refleksi, koordinat segitiga adalah $A'(-1, 2)$, $B'(-4, 3)$, $C'(-2, 5)$.

Langkah 2: Rotasi 90 derajat searah jarum jam terhadap titik asal $(0,0)$

Rotasi 90 derajat searah jarum jam terhadap titik asal $(0,0)$ untuk titik $(x, y)$ menghasilkan bayangan $(y, -x)$.
Kita terapkan rumus ini pada koordinat titik-titik bayangan dari Langkah 1.

• Bayangan titik $A'(-1, 2)$ adalah $A” (2, -(-1)) = A”(2, 1)$.
• Bayangan titik $B'(-4, 3)$ adalah $B” (3, -(-4)) = B”(3, 4)$.
• Bayangan titik $C'(-2, 5)$ adalah $C” (5, -(-2)) = C”(5, 2)$.

Kesimpulan:
Koordinat bayangan segitiga setelah dilakukan refleksi terhadap sumbu Y dilanjutkan dengan rotasi 90 derajat searah jarum jam terhadap titik asal adalah $A”(2, 1)$, $B”(3, 4)$, dan $C”(5, 2)$.

>

Penutup:

Mempelajari contoh soal dan pembahasannya secara mendalam adalah kunci untuk menguasai materi matematika kelas 11 semester 1 SMK. Setiap soal memberikan kesempatan untuk melatih pemahaman konsep, kemampuan analisis, dan ketelitian dalam perhitungan.

Program linear membantu kita membuat keputusan optimal dalam keterbatasan sumber daya. Matriks menyediakan cara yang efisien untuk mengorganisir dan memanipulasi data, serta menyelesaikan masalah yang kompleks. Transformasi geometri memungkinkan kita untuk memahami perubahan spasial yang merupakan dasar dari banyak teknologi visual.

Teruslah berlatih dengan berbagai variasi soal, jangan ragu untuk bertanya kepada guru jika ada yang belum dipahami, dan yang terpenting, bangunlah kepercayaan diri bahwa Anda mampu menguasai matematika. Dengan dedikasi dan strategi belajar yang tepat, materi matematika ini akan menjadi bekal berharga bagi kesuksesan Anda di masa depan. Selamat belajar!

>