Contoh soal matematika kelas 11 semester 1 dan jawabannya

Menguasai Matematika Kelas 11 Semester 1: Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam

Matematika kelas 11 semester 1 merupakan gerbang penting menuju pemahaman konsep-konsep matematika yang lebih kompleks. Materi yang disajikan seringkali membangun fondasi yang kuat untuk studi lanjutan, baik di tingkat SMA maupun di jenjang perguruan tinggi. Memahami setiap topik dengan baik, serta terbiasa dengan berbagai jenis soal, adalah kunci keberhasilan dalam mata pelajaran ini.

Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal representatif dari materi matematika kelas 11 semester 1, lengkap dengan pembahasan mendalam dan jawabannya. Tujuannya adalah untuk membantu siswa dalam memahami konsep, mengasah kemampuan penyelesaian masalah, dan mempersiapkan diri menghadapi ulangan harian, penilaian tengah semester (PTS), maupun penilaian akhir semester (PAS).

Materi Pokok Matematika Kelas 11 Semester 1:

Pada semester pertama kelas 11, beberapa topik utama yang umumnya dibahas meliputi:

1. Fungsi Kuadrat: Grafik, akar-akar, diskriminan, nilai maksimum/minimum, dan aplikasi fungsi kuadrat.
2. Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak: Konsep nilai mutlak, menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak.
3. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV): Metode penyelesaian (substitusi, eliminasi, campuran), dan aplikasi SPLTV.
4. Trigonometri Dasar: Sudut, perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, nilai perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa, dan identitas trigonometri dasar.

Mari kita selami contoh-contoh soal dari setiap topik tersebut.

>

Topik 1: Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial berderajat dua, yang umumnya dinyatakan dalam bentuk $f(x) = ax^2 + bx + c$, di mana $a, b, c$ adalah konstanta dan $a neq 0$. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola.

Contoh Soal 1:

Tentukan titik puncak dan persamaan sumbu simetri dari fungsi kuadrat $f(x) = 2x^2 – 8x + 6$.

Pembahasan:

Untuk mencari titik puncak parabola $f(x) = ax^2 + bx + c$, kita dapat menggunakan rumus:

• Koordinat $x$ dari titik puncak: $x_p = frac-b2a$
• Koordinat $y$ dari titik puncak: $y_p = f(x_p)$

Persamaan sumbu simetri adalah garis vertikal yang melewati titik puncak, sehingga persamaannya adalah $x = x_p$.

Dari fungsi $f(x) = 2x^2 – 8x + 6$, kita identifikasi koefisiennya:

• $a = 2$
• $b = -8$
• $c = 6$

Langkah 1: Menentukan koordinat $x$ dari titik puncak.
$x_p = frac-b2a = frac-(-8)2(2) = frac84 = 2$

Langkah 2: Menentukan koordinat $y$ dari titik puncak.
Substitusikan $x_p = 2$ ke dalam fungsi $f(x)$:
$y_p = f(2) = 2(2)^2 – 8(2) + 6$
$y_p = 2(4) – 16 + 6$
$y_p = 8 – 16 + 6$
$y_p = -8 + 6$
$y_p = -2$

Jadi, titik puncak parabola adalah $(2, -2)$.

Langkah 3: Menentukan persamaan sumbu simetri.
Persamaan sumbu simetri adalah $x = x_p$.
$x = 2$

Jawaban:
Titik puncak fungsi kuadrat adalah $(2, -2)$ dan persamaan sumbu simetrinya adalah $x = 2$.

>

Topik 2: Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Nilai mutlak dari suatu bilangan adalah jarak bilangan tersebut dari nol pada garis bilangan, dan selalu bernilai non-negatif. Dinotasikan dengan $|x|$.

Contoh Soal 2:

Selesaikan persamaan nilai mutlak berikut: $|2x – 1| = 5$.

Pembahasan:

Persamaan nilai mutlak $|A| = c$ (di mana $c geq 0$) memiliki dua kemungkinan solusi: $A = c$ atau $A = -c$.

Dalam kasus ini, $A = 2x – 1$ dan $c = 5$.

Kemungkinan 1: $2x – 1 = 5$
Tambahkan 1 ke kedua sisi:
$2x = 5 + 1$
$2x = 6$
Bagi kedua sisi dengan 2:
$x = frac62$
$x = 3$

Kemungkinan 2: $2x – 1 = -5$
Tambahkan 1 ke kedua sisi:
$2x = -5 + 1$
$2x = -4$
Bagi kedua sisi dengan 2:
$x = frac-42$
$x = -2$

Untuk memverifikasi, kita bisa substitusikan kembali nilai $x$ ke persamaan awal:
Jika $x=3$: $|2(3) – 1| = |6 – 1| = |5| = 5$. (Benar)
Jika $x=-2$: $|2(-2) – 1| = |-4 – 1| = |-5| = 5$. (Benar)

Jawaban:
Himpunan penyelesaian dari persamaan $|2x – 1| = 5$ adalah $3, -2$.

>

Topik 3: Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

SPLTV adalah sistem yang terdiri dari tiga persamaan linear dengan tiga variabel. Sistem ini dapat diselesaikan menggunakan beberapa metode, seperti substitusi, eliminasi, atau metode campuran.

Contoh Soal 3:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut menggunakan metode campuran (eliminasi dan substitusi):
1) $x + y + z = 6$
2) $x – y + 2z = 5$
3) $2x + y – z = 1$

Pembahasan:

Kita akan menggunakan metode campuran. Pertama, kita eliminasi salah satu variabel dari dua pasang persamaan. Mari kita eliminasi variabel $y$.

Langkah 1: Eliminasi $y$ dari persamaan (1) dan (2).
(1) $x + y + z = 6$
(2) $x – y + 2z = 5$
Tambahkan kedua persamaan:
$(x+x) + (y-y) + (z+2z) = 6+5$
$2x + 3z = 11$ (Persamaan 4)

Langkah 2: Eliminasi $y$ dari persamaan (1) dan (3).
(1) $x + y + z = 6$
(3) $2x + y – z = 1$
Kurangkan persamaan (3) dari persamaan (1) (atau sebaliknya) agar $y$ tereliminasi. Mari kita kurangi (1) dengan (3):
$(x – 2x) + (y – y) + (z – (-z)) = 6 – 1$
$-x + 2z = 5$ (Persamaan 5)

Langkah 3: Selesaikan SPLDV dari Persamaan (4) dan (5).
Sekarang kita punya sistem dua persamaan dengan dua variabel ($x$ dan $z$):
(4) $2x + 3z = 11$
(5) $-x + 2z = 5$

Mari kita eliminasi $x$ dari kedua persamaan ini. Kalikan Persamaan (5) dengan 2:
$2 times (-x + 2z = 5) implies -2x + 4z = 10$ (Persamaan 5′)

Sekarang tambahkan Persamaan (4) dengan Persamaan (5′):
$(2x + 3z) + (-2x + 4z) = 11 + 10$
$(2x – 2x) + (3z + 4z) = 21$
$7z = 21$
$z = frac217$
$z = 3$

Langkah 4: Substitusikan nilai $z$ ke salah satu persamaan (4) atau (5) untuk mencari $x$.
Mari kita gunakan Persamaan (5): $-x + 2z = 5$
Substitusikan $z=3$:
$-x + 2(3) = 5$
$-x + 6 = 5$
$-x = 5 – 6$
$-x = -1$
$x = 1$

Langkah 5: Substitusikan nilai $x$ dan $z$ ke salah satu persamaan awal (1), (2), atau (3) untuk mencari $y$.
Mari kita gunakan Persamaan (1): $x + y + z = 6$
Substitusikan $x=1$ dan $z=3$:
$1 + y + 3 = 6$
$y + 4 = 6$
$y = 6 – 4$
$y = 2$

Langkah 6: Verifikasi solusi.
Substitusikan $x=1, y=2, z=3$ ke ketiga persamaan awal:
1) $1 + 2 + 3 = 6$ (Benar)
2) $1 – 2 + 2(3) = 1 – 2 + 6 = -1 + 6 = 5$ (Benar)
3) $2(1) + 2 – 3 = 2 + 2 – 3 = 4 – 3 = 1$ (Benar)

Jawaban:
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah $(1, 2, 3)$.

>

Topik 4: Trigonometri Dasar

Trigonometri mempelajari hubungan antara sudut dan sisi-sisi segitiga. Di kelas 11, kita mulai dengan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku dan sudut-sudut istimewa.

Contoh Soal 4:

Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan sudut siku-siku di C. Jika panjang sisi BC = 8 cm dan panjang sisi AC = 6 cm, tentukan nilai dari:
a) $sin A$
b) $cos A$
c) $tan A$
d) $sin B$

Pembahasan:

Pertama, kita perlu mencari panjang sisi miring (hipotenusa) AB menggunakan teorema Pythagoras.
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$AB^2 = 6^2 + 8^2$
$AB^2 = 36 + 64$
$AB^2 = 100$
$AB = sqrt100$
$AB = 10$ cm

Sekarang, kita ingat kembali definisi perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku:

• $sin theta = fractextsisi depantextsisi miring$
• $cos theta = fractextsisi sampingtextsisi miring$
• $tan theta = fractextsisi depantextsisi samping$

Untuk sudut A:

• Sisi depan sudut A adalah BC = 8 cm.
• Sisi samping sudut A adalah AC = 6 cm.
• Sisi miringnya adalah AB = 10 cm.

Untuk sudut B:

• Sisi depan sudut B adalah AC = 6 cm.
• Sisi samping sudut B adalah BC = 8 cm.
• Sisi miringnya adalah AB = 10 cm.

a) $sin A$
$sin A = fractextsisi depan Atextsisi miring = fracBCAB = frac810 = frac45$

b) $cos A$
$cos A = fractextsisi samping Atextsisi miring = fracACAB = frac610 = frac35$

c) $tan A$
$tan A = fractextsisi depan Atextsisi samping A = fracBCAC = frac86 = frac43$

d) $sin B$
$sin B = fractextsisi depan Btextsisi miring = fracACAB = frac610 = frac35$

Jawaban:
a) $sin A = frac45$
b) $cos A = frac35$
c) $tan A = frac43$
d) $sin B = frac35$

>

Contoh Soal 5 (Sudut Istimewa):

Tentukan nilai dari $sin 60^circ + cos 30^circ – tan 45^circ$.

Pembahasan:

Kita perlu mengetahui nilai-nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa:

• $sin 60^circ = fracsqrt32$
• $cos 30^circ = fracsqrt32$
• $tan 45^circ = 1$

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam ekspresi:
$sin 60^circ + cos 30^circ – tan 45^circ = fracsqrt32 + fracsqrt32 – 1$

Jumlahkan dua suku pertama:
$= frac2sqrt32 – 1$
$= sqrt3 – 1$

Jawaban:
Nilai dari $sin 60^circ + cos 30^circ – tan 45^circ$ adalah $sqrt3 – 1$.

>

Kesimpulan:

Menguasai materi matematika kelas 11 semester 1 memerlukan pemahaman konsep yang kuat dan latihan soal yang konsisten. Contoh-contoh soal yang dibahas di atas mencakup topik-topik inti dan menunjukkan berbagai teknik penyelesaian. Dengan mempelajari dan mempraktikkan soal-soal serupa, siswa diharapkan dapat membangun kepercayaan diri dan meraih hasil yang optimal dalam pembelajaran matematika. Ingatlah untuk selalu membaca soal dengan cermat, memahami apa yang ditanyakan, dan menerapkan langkah-langkah penyelesaian yang tepat. Selamat belajar!

>