Contoh soal matematika kelas 11 semester 1 dan penyelesaiannya

Menguasai Matematika Kelas 11 Semester 1: Contoh Soal dan Penyelesaian Mendalam

Memasuki kelas 11, siswa dihadapkan pada materi matematika yang semakin kompleks dan menantang. Semester pertama di jenjang ini biasanya memperkenalkan konsep-konsep fundamental yang menjadi dasar bagi pembelajaran di semester berikutnya dan bahkan di jenjang perkuliahan. Memahami dan menguasai materi ini sangat krusial untuk meraih kesuksesan akademis.

Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal matematika kelas 11 semester 1 yang sering muncul dalam berbagai evaluasi, lengkap dengan penjelasan penyelesaian yang rinci. Tujuannya adalah agar siswa tidak hanya mengetahui jawabannya, tetapi juga memahami alur berpikir di balik setiap langkah penyelesaian, sehingga mereka dapat menerapkan metode serupa pada soal-soal yang bervariasi.

Bab 1: Fungsi Eksponensial dan Logaritma

Konsep fungsi eksponensial dan logaritma merupakan salah satu topik inti di awal semester. Pemahaman mengenai sifat-sifatnya sangat penting untuk menyelesaikan berbagai permasalahan, mulai dari pertumbuhan populasi hingga peluruhan radioaktif.

Contoh Soal 1:

Tentukan nilai dari $left(frac127right)^-frac23 times 8^frac13$

Penyelesaian:

Langkah pertama adalah menyederhanakan setiap suku menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat.

• Suku pertama: $left(frac127right)^-frac23$
  Kita tahu bahwa $27 = 3^3$. Maka, $frac127 = frac13^3 = 3^-3$.
  Sehingga, $left(frac127right)^-frac23 = (3^-3)^-frac23$.
  Menggunakan sifat $(a^m)^n = a^m times n$, kita dapatkan:
  $3^-3 times (-frac23) = 3^frac63 = 3^2 = 9$.

• Suku kedua: $8^frac13$
  Kita tahu bahwa $8 = 2^3$. Maka, $8^frac13 = (2^3)^frac13$.
  Menggunakan sifat $(a^m)^n = a^m times n$, kita dapatkan:
  $2^3 times frac13 = 2^1 = 2$.

Sekarang, kita kalikan hasil dari kedua suku tersebut:
$9 times 2 = 18$.

Jadi, nilai dari $left(frac127right)^-frac23 times 8^frac13$ adalah 18.

Contoh Soal 2:

Sederhanakan bentuk $log_2 48 – log_2 3 + log_2 frac14$

Penyelesaian:

Untuk menyederhanakan ekspresi logaritma, kita akan menggunakan sifat-sifat logaritma, yaitu:

• $log_b x – log_b y = log_b left(fracxyright)$
• $log_b x + log_b y = log_b (x times y)$

Ekspresi yang diberikan adalah: $log_2 48 – log_2 3 + log_2 frac14$

Pertama, kita gabungkan dua suku pertama menggunakan sifat pengurangan:
$log_2 48 – log_2 3 = log_2 left(frac483right) = log_2 16$.

Selanjutnya, kita gabungkan hasil ini dengan suku ketiga menggunakan sifat penjumlahan:
$log_2 16 + log_2 frac14 = log_2 left(16 times frac14right) = log_2 left(frac164right) = log_2 4$.

Terakhir, kita tentukan nilai dari $log_2 4$. Ini berarti kita mencari pangkat berapa yang harus diberikan pada basis 2 agar menghasilkan 4.
$2^x = 4$
$2^x = 2^2$
$x = 2$.

Jadi, bentuk sederhana dari $log_2 48 – log_2 3 + log_2 frac14$ adalah 2.

Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Nilai mutlak seringkali menjadi sumber kebingungan bagi siswa karena sifatnya yang unik, yaitu selalu menghasilkan nilai non-negatif. Memahami definisi dan cara menyelesaikan persamaan serta pertidaksamaan nilai mutlak adalah kunci untuk menguasai bab ini.

Contoh Soal 3:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $|2x – 1| = 5$.

Penyelesaian:

Persamaan nilai mutlak $|A| = c$ (di mana $c > 0$) memiliki dua kemungkinan solusi: $A = c$ atau $A = -c$.

Dalam kasus ini, $A = 2x – 1$ dan $c = 5$.

• Kemungkinan 1: $2x – 1 = 5$
  Tambahkan 1 ke kedua sisi:
  $2x = 5 + 1$
  $2x = 6$
  Bagi kedua sisi dengan 2:
  $x = 3$.

• Kemungkinan 2: $2x – 1 = -5$
  Tambahkan 1 ke kedua sisi:
  $2x = -5 + 1$
  $2x = -4$
  Bagi kedua sisi dengan 2:
  $x = -2$.

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan $|2x – 1| = 5$ adalah -2, 3.

Contoh Soal 4:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $|3x + 2| le 7$.

Penyelesaian:

Pertidaksamaan nilai mutlak berbentuk $|A| le c$ (di mana $c > 0$) dapat diubah menjadi bentuk $-c le A le c$.

Dalam kasus ini, $A = 3x + 2$ dan $c = 7$.
Maka, pertidaksamaan menjadi:
$-7 le 3x + 2 le 7$.

Kita akan menyelesaikan pertidaksamaan ganda ini dengan melakukan operasi yang sama pada ketiga bagian.

Pertama, kurangi 2 dari ketiga bagian:
$-7 – 2 le 3x + 2 – 2 le 7 – 2$
$-9 le 3x le 5$.

Selanjutnya, bagi ketiga bagian dengan 3:
$frac-93 le frac3x3 le frac53$
$-3 le x le frac53$.

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $|3x + 2| le 7$ adalah $x mid -3 le x le frac53$ atau dalam notasi interval $$.

Bab 3: Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

SPLTV melibatkan tiga persamaan linear dengan tiga variabel yang tidak diketahui. Menyelesaikan sistem ini memerlukan ketelitian dan pemahaman tentang metode substitusi, eliminasi, atau gabungan.

Contoh Soal 5:

Tentukan solusi dari sistem persamaan linear berikut:
1) $x + y + z = 6$
2) $x – y + 2z = 5$
3) $2x + y – z = 1$

Penyelesaian:

Kita akan menggunakan metode eliminasi gabungan untuk menyelesaikan sistem ini.

• Langkah 1: Eliminasi satu variabel dari dua pasang persamaan.
  Mari kita eliminasi variabel $y$ terlebih dahulu.

  • Gabungkan persamaan (1) dan (2):
    $(x + y + z) + (x – y + 2z) = 6 + 5$
    $2x + 3z = 11$ (Persamaan 4)

  • Gabungkan persamaan (1) dan (3):
    $(x + y + z) + (2x + y – z) = 6 + 1$ (Ini akan lebih mudah jika kita mengeliminasi $y$ lagi, jadi kita kalikan persamaan (1) dengan -1)
    $-x – y – z = -6$
    $2x + y – z = 1$
    Jumlahkan kedua persamaan:
    $(-x – y – z) + (2x + y – z) = -6 + 1$
    $x – 2z = -5$ (Persamaan 5)

• Langkah 2: Selesaikan sistem persamaan dua variabel yang baru terbentuk.
  Kita punya sistem baru dari Persamaan (4) dan (5):
  4) $2x + 3z = 11$
  5) $x – 2z = -5$

  Mari kita eliminasi variabel $x$. Kalikan Persamaan (5) dengan 2:
  $2 times (x – 2z) = 2 times (-5)$
  $2x – 4z = -10$ (Persamaan 6)

  Sekarang, kurangkan Persamaan (6) dari Persamaan (4):
  $(2x + 3z) – (2x – 4z) = 11 – (-10)$
  $2x + 3z – 2x + 4z = 11 + 10$
  $7z = 21$
  $z = frac217$
  $z = 3$.

• Langkah 3: Substitusikan nilai variabel yang ditemukan ke salah satu persamaan dua variabel untuk mencari variabel lainnya.
  Substitusikan $z = 3$ ke Persamaan (5):
  $x – 2(3) = -5$
  $x – 6 = -5$
  $x = -5 + 6$
  $x = 1$.

• Langkah 4: Substitusikan nilai kedua variabel yang ditemukan ke salah satu persamaan awal untuk mencari variabel ketiga.
  Substitusikan $x = 1$ dan $z = 3$ ke Persamaan (1):
  $1 + y + 3 = 6$
  $y + 4 = 6$
  $y = 6 – 4$
  $y = 2$.

Jadi, solusi dari sistem persamaan linear tersebut adalah $x = 1$, $y = 2$, dan $z = 3$. Kita bisa menuliskannya sebagai pasangan $(1, 2, 3)$.

Bab 4: Matriks

Matriks adalah susunan bilangan dalam bentuk persegi panjang. Bab ini memperkenalkan konsep dasar matriks, seperti ordo, jenis-jenis matriks, transpose, penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks.

Contoh Soal 6:

Diketahui matriks $A = beginpmatrix 2 & -1 3 & 0 endpmatrix$ dan $B = beginpmatrix 1 & 5 -2 & 4 endpmatrix$.
Tentukan hasil dari $3A – B^T$, di mana $B^T$ adalah transpose dari matriks $B$.

Penyelesaian:

Pertama, kita perlu mencari transpose dari matriks $B$. Transpose matriks diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom atau kolom menjadi baris.

$B = beginpmatrix 1 & 5 -2 & 4 endpmatrix$
Maka, $B^T = beginpmatrix 1 & -2 5 & 4 endpmatrix$.

Selanjutnya, kita hitung $3A$:
$3A = 3 beginpmatrix 2 & -1 3 & 0 endpmatrix = beginpmatrix 3 times 2 & 3 times (-1) 3 times 3 & 3 times 0 endpmatrix = beginpmatrix 6 & -3 9 & 0 endpmatrix$.

Sekarang, kita kurangkan $3A$ dengan $B^T$:
$3A – B^T = beginpmatrix 6 & -3 9 & 0 endpmatrix – beginpmatrix 1 & -2 5 & 4 endpmatrix$.

Pengurangan matriks dilakukan dengan mengurangkan elemen-elemen yang bersesuaian:
$3A – B^T = beginpmatrix 6 – 1 & -3 – (-2) 9 – 5 & 0 – 4 endpmatrix = beginpmatrix 5 & -3 + 2 4 & -4 endpmatrix = beginpmatrix 5 & -1 4 & -4 endpmatrix$.

Jadi, hasil dari $3A – B^T$ adalah $beginpmatrix 5 & -1 4 & -4 endpmatrix$.

Contoh Soal 7:

Diberikan matriks $P = beginpmatrix 1 & 2 3 & 4 endpmatrix$ dan $Q = beginpmatrix -1 & 0 2 & 1 endpmatrix$.
Tentukan hasil dari $P times Q$.

Penyelesaian:

Perkalian dua matriks dapat dilakukan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Dalam kasus ini, kedua matriks adalah matriks 2×2, sehingga perkalian dapat dilakukan.

Misalkan hasil perkalian $P times Q$ adalah matriks $R = beginpmatrix r11 & r12 r21 & r22 endpmatrix$.

Untuk menghitung elemen $r_ij$, kita kalikan elemen-elemen pada baris ke-$i$ dari matriks pertama dengan elemen-elemen pada kolom ke-$j$ dari matriks kedua, lalu jumlahkan hasilnya.

• Menghitung $r_11$ (elemen baris 1, kolom 1):
  Ambil baris 1 dari $P$ ($1, 2$) dan kolom 1 dari $Q$ ($-1, 2$).
  $r_11 = (1 times -1) + (2 times 2) = -1 + 4 = 3$.

• Menghitung $r_12$ (elemen baris 1, kolom 2):
  Ambil baris 1 dari $P$ ($1, 2$) dan kolom 2 dari $Q$ ($0, 1$).
  $r_12 = (1 times 0) + (2 times 1) = 0 + 2 = 2$.

• Menghitung $r_21$ (elemen baris 2, kolom 1):
  Ambil baris 2 dari $P$ ($3, 4$) dan kolom 1 dari $Q$ ($-1, 2$).
  $r_21 = (3 times -1) + (4 times 2) = -3 + 8 = 5$.

• Menghitung $r_22$ (elemen baris 2, kolom 2):
  Ambil baris 2 dari $P$ ($3, 4$) dan kolom 2 dari $Q$ ($0, 1$).
  $r_22 = (3 times 0) + (4 times 1) = 0 + 4 = 4$.

Jadi, hasil dari $P times Q$ adalah matriks $R = beginpmatrix 3 & 2 5 & 4 endpmatrix$.

Penutup

Menguasai materi matematika kelas 11 semester 1 adalah investasi berharga untuk masa depan akademis Anda. Dengan memahami konsep dasar dan melatih diri dengan berbagai contoh soal, Anda akan membangun fondasi yang kuat untuk topik-topik selanjutnya. Ingatlah bahwa latihan yang konsisten adalah kunci utama dalam menguasai matematika. Jangan ragu untuk bertanya kepada guru atau teman jika Anda menemukan kesulitan. Selamat belajar!

>