Contoh soal matematika kelas 11 semester 1 k13

Menguasai Matematika Kelas 11 Semester 1 Kurikulum 2013: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal

Kurikulum 2013 (K13) dalam pembelajaran Matematika kelas 11 semester 1 menghadirkan materi yang menantang namun sangat relevan untuk membangun fondasi pemahaman matematika yang lebih mendalam. Semester ini biasanya berfokus pada topik-topik esensial yang akan menjadi bekal berharga untuk jenjang pendidikan selanjutnya, baik di perguruan tinggi maupun dalam kehidupan profesional.

Artikel ini akan mengupas tuntas beberapa contoh soal Matematika kelas 11 semester 1 K13, disertai dengan penjelasan rinci mengenai konsep yang mendasarinya. Tujuannya adalah untuk memberikan pemahaman yang komprehensif, membantu siswa berlatih, dan menumbuhkan kepercayaan diri dalam menghadapi ujian dan tantangan matematika.

Topik Utama Matematika Kelas 11 Semester 1 K13

Sebelum kita masuk ke contoh soal, mari kita tinjau terlebih dahulu beberapa topik utama yang umumnya dibahas dalam Matematika kelas 11 semester 1 K13:

1. Fungsi Eksponensial dan Logaritma: Memahami sifat-sifat, grafik, dan penyelesaian persamaan serta pertidaksamaan eksponensial dan logaritma.
2. Transformasi Geometri: Meliputi translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perbesaran/pengecilan).
3. Matriks: Pengertian matriks, jenis-jenis matriks, operasi dasar matriks (penjumlahan, pengurangan, perkalian), determinan, invers, dan penyelesaian sistem persamaan linear dengan matriks.
4. Barisan dan Deret: Meliputi barisan aritmetika, barisan geometri, deret aritmetika, deret geometri, serta aplikasi dalam pemecahan masalah.

Mari kita bedah contoh-contoh soal untuk setiap topik.

>

Contoh Soal 1: Fungsi Eksponensial dan Logaritma

Soal:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponensial berikut:

$$(1/3)^2x-1 = sqrt27 cdot 9^x-2$$

Pembahasan:

Langkah pertama dalam menyelesaikan persamaan eksponensial adalah menyamakan basis dari kedua sisi persamaan. Basis yang paling sederhana yang dapat kita gunakan di sini adalah 3.

• Sisi kiri: $$(1/3)^2x-1$$
  Kita tahu bahwa $$1/3 = 3^-1$$. Jadi, $$(1/3)^2x-1 = (3^-1)^2x-1 = 3^-(2x-1) = 3^-2x+1$$.

• Sisi kanan: $$sqrt27 cdot 9^x-2$$
  Kita tahu bahwa $$sqrt27 = 27^1/2$$. Dan $$27 = 3^3$$. Sehingga, $$sqrt27 = (3^3)^1/2 = 3^3/2$$.
  Kemudian, $$9 = 3^2$$. Jadi, $$9^x-2 = (3^2)^x-2 = 3^2(x-2) = 3^2x-4$$.
  Menggabungkan kedua bagian di sisi kanan: $$3^3/2 cdot 3^2x-4 = 3^(3/2) + (2x-4)$$.
  Untuk menjumlahkan eksponen, kita samakan penyebutnya: $$(3/2) + (2x-4) = (3/2) + (4x/2 – 8/2) = (3 + 4x – 8)/2 = (4x – 5)/2$$.
  Jadi, sisi kanan menjadi $$3^(4x-5)/2$$.

Sekarang kita memiliki persamaan dengan basis yang sama:
$$3^-2x+1 = 3^(4x-5)/2$$

Karena basisnya sama, maka eksponennya harus sama:
$$-2x + 1 = frac4x-52$$

Untuk menyelesaikan persamaan linear ini, kita kalikan kedua sisi dengan 2 untuk menghilangkan penyebut:
$$2(-2x + 1) = 4x – 5$$
$$-4x + 2 = 4x – 5$$

Sekarang, pindahkan semua suku yang mengandung x ke satu sisi dan konstanta ke sisi lain:
$$2 + 5 = 4x + 4x$$
$$7 = 8x$$

Terakhir, bagi kedua sisi dengan 8 untuk mendapatkan nilai x:
$$x = frac78$$

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan eksponensial tersebut adalah $$7/8$$.

Soal Lanjutan (Logaritma):

Jika $$log_a 5 = m$$ dan $$log_a 2 = n$$, nyatakan $$log_a 50$$ dalam bentuk m dan n.

Pembahasan:

Kita perlu menggunakan sifat-sifat logaritma untuk memecah $$log_a 50$$ menjadi bentuk yang mengandung $$log_a 5$$ dan $$log_a 2$$.

Kita tahu bahwa $$50 = 5 cdot 10 = 5 cdot 2 cdot 5 = 5^2 cdot 2$$.

Menggunakan sifat logaritma $$log_b (xy) = log_b x + log_b y$$ dan $$log_b (x^k) = k log_b x$$:

$$log_a 50 = log_a (5^2 cdot 2)$$
$$log_a 50 = log_a (5^2) + log_a 2$$
$$log_a 50 = 2 log_a 5 + log_a 2$$

Karena diberikan $$log_a 5 = m$$ dan $$log_a 2 = n$$, kita substitusikan nilai-nilai tersebut:
$$log_a 50 = 2(m) + n$$
$$log_a 50 = 2m + n$$

Jadi, $$log_a 50$$ dinyatakan dalam bentuk m dan n adalah $$2m + n$$.

>

Contoh Soal 2: Transformasi Geometri

Soal:

Bayangan titik P(2, 3) setelah ditransformasi oleh matriks $$A = beginpmatrix 0 & -1 1 & 0 endpmatrix$$ dilanjutkan dengan translasi $$T = beginpmatrix 4 -1 endpmatrix$$ adalah P'(x’, y’). Tentukan koordinat P’.

Pembahasan:

Soal ini melibatkan dua jenis transformasi: matriks (yang merepresentasikan rotasi atau pencerminan, dalam kasus ini rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam) dan translasi. Kita akan melakukan transformasi satu per satu.

Langkah 1: Transformasi oleh Matriks A

Misalkan bayangan titik P(2, 3) setelah ditransformasi oleh matriks A adalah P”(x”, y”).
Dalam bentuk matriks, transformasi ini dapat ditulis sebagai:
$$ beginpmatrix x” y” endpmatrix = A beginpmatrix x y endpmatrix $$
$$ beginpmatrix x” y” endpmatrix = beginpmatrix 0 & -1 1 & 0 endpmatrix beginpmatrix 2 3 endpmatrix $$

Melakukan perkalian matriks:
$$ x” = (0 cdot 2) + (-1 cdot 3) = 0 – 3 = -3 $$
$$ y” = (1 cdot 2) + (0 cdot 3) = 2 + 0 = 2 $$
Jadi, koordinat P” adalah (-3, 2).

Langkah 2: Transformasi Translasi T

Sekarang, titik P”(-3, 2) ditranslasikan oleh $$T = beginpmatrix 4 -1 endpmatrix$$.
Bayangan akhir P'(x’, y’) dihitung dengan menambahkan vektor translasi ke koordinat P”:
$$ beginpmatrix x’ y’ endpmatrix = beginpmatrix x” y” endpmatrix + T $$
$$ beginpmatrix x’ y’ endpmatrix = beginpmatrix -3 2 endpmatrix + beginpmatrix 4 -1 endpmatrix $$

Melakukan penjumlahan vektor:
$$ x’ = -3 + 4 = 1 $$
$$ y’ = 2 + (-1) = 1 $$

Jadi, koordinat bayangan akhir P’ adalah (1, 1).

Soal Lanjutan (Refleksi):

Tentukan bayangan garis $$y = 2x + 1$$ jika dicerminkan terhadap garis $$y = x$$.

Pembahasan:

Misalkan titik sembarang pada garis adalah $$(x, y)$$. Bayangannya setelah dicerminkan terhadap garis $$y = x$$ adalah $$(x’, y’)$$.
Aturan pencerminan terhadap garis $$y = x$$ adalah:
$$ x’ = y $$
$$ y’ = x $$

Ini berarti, jika kita memiliki koordinat bayangan $$(x’, y’)$$, maka koordinat aslinya adalah $$(y’, x’)$$.
Kita substitusikan $$x = y’$$ dan $$y = x’$$ ke dalam persamaan garis asli $$y = 2x + 1$$:
$$ x’ = 2(y’) + 1 $$

Untuk mendapatkan persamaan bayangan dalam bentuk $$y’ = dots$$ atau $$y = dots$$, kita susun ulang persamaan tersebut:
$$ x’ – 1 = 2y’ $$
$$ y’ = fracx’ – 12 $$
$$ y’ = frac12x’ – frac12 $$

Jadi, bayangan garis $$y = 2x + 1$$ setelah dicerminkan terhadap garis $$y = x$$ adalah $$y = frac12x – frac12$$.

>

Contoh Soal 3: Matriks

Soal:

Diberikan matriks $$A = beginpmatrix 2 & 1 3 & 4 endpmatrix$$ dan $$B = beginpmatrix 1 & -2 0 & 3 endpmatrix$$. Tentukan matriks C, jika $$2A – C = B$$.

Pembahasan:

Kita perlu mencari matriks C dari persamaan yang diberikan. Persamaan ini dapat diatur ulang untuk mengisolasi C.

$$2A – C = B$$
$$2A – B = C$$

Sekarang, kita hitung $$2A$$ terlebih dahulu:
$$2A = 2 beginpmatrix 2 & 1 3 & 4 endpmatrix = beginpmatrix 2 cdot 2 & 2 cdot 1 2 cdot 3 & 2 cdot 4 endpmatrix = beginpmatrix 4 & 2 6 & 8 endpmatrix$$

Selanjutnya, kita hitung $$2A – B$$:
$$C = 2A – B = beginpmatrix 4 & 2 6 & 8 endpmatrix – beginpmatrix 1 & -2 0 & 3 endpmatrix$$

Melakukan pengurangan matriks:
$$C = beginpmatrix 4 – 1 & 2 – (-2) 6 – 0 & 8 – 3 endpmatrix = beginpmatrix 3 & 2 + 2 6 & 5 endpmatrix = beginpmatrix 3 & 4 6 & 5 endpmatrix$$

Jadi, matriks C adalah $$beginpmatrix 3 & 4 6 & 5 endpmatrix$$.

Soal Lanjutan (Determinan dan Invers):

Tentukan determinan dan invers dari matriks $$M = beginpmatrix 3 & 1 2 & 4 endpmatrix$$.

Pembahasan:

Determinan:
Determinan dari matriks 2×2 $$ beginpmatrix a & b c & d endpmatrix $$ dihitung dengan rumus $$ad – bc$$.
Untuk matriks $$M = beginpmatrix 3 & 1 2 & 4 endpmatrix$$, maka:
$$ det(M) = (3 cdot 4) – (1 cdot 2) = 12 – 2 = 10 $$
Jadi, determinan matriks M adalah 10.

Invers:
Invers dari matriks 2×2 $$ beginpmatrix a & b c & d endpmatrix $$ dihitung dengan rumus $$ frac1det(M) beginpmatrix d & -b -c & a endpmatrix $$, asalkan $$det(M) neq 0$$.
Karena determinan M adalah 10 (tidak sama dengan nol), maka inversnya ada.
$$ M^-1 = frac110 beginpmatrix 4 & -1 -2 & 3 endpmatrix $$
$$ M^-1 = beginpmatrix 4/10 & -1/10 -2/10 & 3/10 endpmatrix $$
$$ M^-1 = beginpmatrix 2/5 & -1/10 -1/5 & 3/10 endpmatrix $$
Jadi, invers dari matriks M adalah $$ beginpmatrix 2/5 & -1/10 -1/5 & 3/10 endpmatrix $$.

>

Contoh Soal 4: Barisan dan Deret

Soal:

Dalam sebuah deret aritmetika, suku pertama adalah 5 dan bedanya adalah 3. Tentukan jumlah 10 suku pertama deret tersebut.

Pembahasan:

Diketahui:

• Suku pertama ($$a_1$$) = 5
• Beda ($$d$$) = 3
• Jumlah suku yang dicari (n) = 10

Rumus untuk mencari jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah:
$$ S_n = fracn2 $$

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus:
$$ S10 = frac102 $$
$$ S10 = 5 $$
$$ S10 = 5 $$
$$ S10 = 5 $$
$$ S_10 = 185 $$

Jadi, jumlah 10 suku pertama deret aritmetika tersebut adalah 185.

Soal Lanjutan (Deret Geometri):

Tentukan suku ke-8 dari barisan geometri jika suku pertama adalah 3 dan rasio adalah 2.

Pembahasan:

Diketahui:

• Suku pertama ($$a$$) = 3
• Rasio ($$r$$) = 2
• Suku yang dicari (n) = 8

Rumus untuk mencari suku ke-n dari barisan geometri adalah:
$$ a_n = a cdot r^n-1 $$

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus:
$$ a_8 = 3 cdot 2^8-1 $$
$$ a_8 = 3 cdot 2^7 $$
$$ a_8 = 3 cdot 128 $$
$$ a_8 = 384 $$

Jadi, suku ke-8 dari barisan geometri tersebut adalah 384.

>

Kesimpulan

Mempelajari Matematika kelas 11 semester 1 K13 membutuhkan pemahaman konsep yang kuat dan latihan soal yang konsisten. Topik-topik seperti fungsi eksponensial dan logaritma, transformasi geometri, matriks, serta barisan dan deret saling terkait dan membangun kemampuan berpikir logis serta analitis siswa.

Dengan memahami langkah-langkah penyelesaian pada contoh-contoh soal di atas, siswa diharapkan dapat mengidentifikasi pola, menerapkan rumus yang tepat, dan menganalisis masalah matematika dengan lebih percaya diri. Kunci keberhasilan adalah ketekunan dalam berlatih, tidak takut untuk bertanya, dan selalu berusaha memahami setiap konsep di balik setiap perhitungan. Semoga artikel ini menjadi panduan yang bermanfaat bagi seluruh siswa kelas 11 dalam menaklukkan materi matematika semester 1.

>