Contoh soal matematika kelas 10 semester 1 kurikulum 2013

Menguasai Matematika Kelas 10 Semester 1: Kumpulan Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam (Kurikulum 2013)

Matematika kelas 10 merupakan gerbang awal bagi siswa dalam mendalami konsep-konsep matematika tingkat lanjut yang akan menjadi fondasi penting di jenjang berikutnya. Kurikulum 2013, dengan fokus pada pemecahan masalah dan pemikiran kritis, menuntut siswa untuk tidak hanya menghafal rumus, tetapi juga memahami esensi di baliknya. Semester 1 di kelas 10 biasanya mencakup beberapa bab fundamental yang krusial, seperti fungsi, persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak, sistem persamaan linear, serta materi terkait trigonometri dasar.

Artikel ini akan menyajikan kumpulan contoh soal pilihan ganda dan uraian yang mewakili berbagai topik yang diajarkan di semester 1 Kurikulum 2013, lengkap dengan pembahasan langkah demi langkah. Tujuannya adalah untuk membantu siswa memahami berbagai tipe soal, strategi penyelesaian, dan mengasah kemampuan mereka dalam menghadapi ujian.

Bab 1: Fungsi – Fondasi Pemetaan dan Hubungan

Fungsi adalah konsep sentral dalam matematika yang menggambarkan hubungan antara dua himpunan. Memahami fungsi akan membuka pintu untuk mempelajari banyak konsep matematika lainnya.

Konsep Kunci:

• Relasi: Himpunan pasangan berurutan yang menghubungkan anggota himpunan A ke himpunan B.
• Fungsi: Relasi khusus di mana setiap anggota himpunan A dipasangkan tepat satu kali dengan anggota himpunan B.
• Domain: Himpunan asal (input).
• Kodomain: Himpunan kawan (output).
• Range: Himpunan hasil (output yang sebenarnya dicapai).
• Notasi Fungsi: $f(x) = ax + b$, $g(t) = t^2 – 1$, dll.

Contoh Soal 1 (Pilihan Ganda):
Diketahui himpunan A = 1, 2, 3 dan himpunan B = 2, 4, 6, 8. Relasi R dari A ke B didefinisikan sebagai "setengah dari". Manakah pasangan berurutan berikut yang bukan merupakan anggota dari relasi R?
a. (1, 2)
b. (2, 4)
c. (3, 6)
d. (1, 4)
e. (2, 8)

Pembahasan:
Relasi "setengah dari" berarti jika $x$ adalah anggota himpunan A dan $y$ adalah anggota himpunan B, maka $x = frac12y$ atau $y = 2x$.
Mari kita periksa setiap pasangan berurutan:
a. (1, 2): $2 = 2 times 1$. Benar.
b. (2, 4): $4 = 2 times 2$. Benar.
c. (3, 6): $6 = 2 times 3$. Benar.
d. (1, 4): $4 neq 2 times 1$. Salah.
e. (2, 8): $8 = 2 times 2$. Salah.

Koreksi: Soal seharusnya menanyakan yang merupakan anggota relasi R atau yang bukan. Jika relasi R adalah "setengah dari", maka $x$ adalah setengah dari $y$, atau $y = 2x$.
Mari kita ulangi pemeriksaan:
a. (1, 2): $2 = 2 times 1$. Benar.
b. (2, 4): $4 = 2 times 2$. Benar.
c. (3, 6): $6 = 2 times 3$. Benar.
d. (1, 4): $4 neq 2 times 1$. Ini berarti 1 bukan setengah dari 4. Jika relasinya "setengah dari", maka ini bukan anggota.
e. (2, 8): $8 = 2 times 2$. Benar.

Jika soal bertanya "manakah yang merupakan anggota dari relasi R", maka a, b, c, e adalah jawaban yang benar. Karena soal bertanya "manakah yang bukan merupakan anggota dari relasi R", maka d. (1, 4) adalah jawabannya.

Contoh Soal 2 (Uraian):
Diketahui fungsi $f(x) = 3x – 5$. Tentukan:
a. Nilai $f(4)$
b. Nilai $x$ jika $f(x) = 10$
c. Jika $g(x) = 2x + 1$, tentukan $(f circ g)(2)$.

Pembahasan:
a. Untuk menentukan $f(4)$, kita substitusikan $x=4$ ke dalam rumus $f(x)$:
$f(4) = 3(4) – 5 = 12 – 5 = 7$.

b. Untuk menentukan nilai $x$ jika $f(x) = 10$, kita samakan rumus $f(x)$ dengan 10:
$3x – 5 = 10$
$3x = 10 + 5$
$3x = 15$
$x = frac153 = 5$.

c. Untuk menentukan $(f circ g)(2)$, kita perlu mencari nilai $g(2)$ terlebih dahulu, kemudian mensubstitusikannya ke dalam fungsi $f$.
$g(2) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5$.
Selanjutnya, kita hitung $f(g(2))$, yang sama dengan $f(5)$:
$f(5) = 3(5) – 5 = 15 – 5 = 10$.
Jadi, $(f circ g)(2) = 10$.

>

Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak – Mengukur Jarak dari Nol

Nilai mutlak $|x|$ menyatakan jarak suatu bilangan $x$ dari nol pada garis bilangan. Konsep ini seringkali muncul dalam berbagai konteks, termasuk dalam pengukuran dan penyelesaian persamaan/pertidaksamaan.

Konsep Kunci:

• $|a| = a$ jika $a ge 0$
• $|a| = -a$ jika $a < 0$
• Persamaan nilai mutlak: $|f(x)| = c implies f(x) = c$ atau $f(x) = -c$.
• Pertidaksamaan nilai mutlak:
  • $|f(x)| < c implies -c < f(x) < c$
  • $|f(x)| > c implies f(x) < -c$ atau $f(x) > c$

Contoh Soal 3 (Pilihan Ganda):
Himpunan penyelesaian dari persamaan $|2x – 1| = 5$ adalah…
a. 3
b. -2
c. -2, 3
d. 2, -3
e. 3, -2

Pembahasan:
Persamaan $|2x – 1| = 5$ memiliki dua kemungkinan:
Kasus 1: $2x – 1 = 5$
$2x = 5 + 1$
$2x = 6$
$x = 3$

Kasus 2: $2x – 1 = -5$
$2x = -5 + 1$
$2x = -4$
$x = -2$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah -2, 3.
Jawaban yang tepat adalah c. -2, 3.

Contoh Soal 4 (Uraian):
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $|3x + 2| le 7$.

Pembahasan:
Pertidaksamaan $|3x + 2| le 7$ dapat diubah menjadi bentuk $-7 le 3x + 2 le 7$.
Kita akan menyelesaikan pertidaksamaan ganda ini secara bersamaan:
$-7 le 3x + 2 le 7$

Kurangi semua bagian dengan 2:
$-7 – 2 le 3x + 2 – 2 le 7 – 2$
$-9 le 3x le 5$

Bagi semua bagian dengan 3:
$frac-93 le frac3x3 le frac53$
$-3 le x le frac53$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $x mid -3 le x le frac53$.

>

Bab 3: Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) – Mengurai Jaringan Hubungan

SPLTV melibatkan tiga persamaan linear dengan tiga variabel yang saling terkait. Penyelesaiannya memungkinkan kita untuk menemukan nilai unik untuk setiap variabel yang memenuhi semua persamaan secara bersamaan.

Konsep Kunci:

• Bentuk umum:
  $a_1x + b_1y + c_1z = d_1$
  $a_2x + b_2y + c_2z = d_2$
  $a_3x + b_3y + c_3z = d_3$
• Metode Penyelesaian: Substitusi, Eliminasi, Campuran (Eliminasi-Substitusi), Determinan (Aturan Cramer).

Contoh Soal 5 (Pilihan Ganda):
Perhatikan sistem persamaan linear berikut:
1) $x + y + z = 6$
2) $2x – y + z = 3$
3) $x + 2y – z = 2$
Nilai $x$, $y$, dan $z$ yang memenuhi sistem persamaan tersebut adalah…
a. $x=1, y=2, z=3$
b. $x=2, y=1, z=3$
c. $x=3, y=2, z=1$
d. $x=1, y=3, z=2$
e. $x=2, y=3, z=1$

Pembahasan:
Kita gunakan metode eliminasi.
Jumlahkan persamaan (1) dan (3):
$(x + y + z) + (x + 2y – z) = 6 + 2$
$2x + 3y = 8$ (Persamaan 4)

Jumlahkan persamaan (2) dan (3):
$(2x – y + z) + (x + 2y – z) = 3 + 2$
$3x + y = 5$ (Persamaan 5)

Sekarang kita punya sistem persamaan dua variabel:
4) $2x + 3y = 8$
5) $3x + y = 5$

Dari persamaan (5), kita dapatkan $y = 5 – 3x$. Substitusikan ke persamaan (4):
$2x + 3(5 – 3x) = 8$
$2x + 15 – 9x = 8$
$-7x = 8 – 15$
$-7x = -7$
$x = 1$

Sekarang substitusikan $x=1$ ke $y = 5 – 3x$:
$y = 5 – 3(1) = 5 – 3 = 2$.

Terakhir, substitusikan $x=1$ dan $y=2$ ke persamaan (1):
$1 + 2 + z = 6$
$3 + z = 6$
$z = 3$.

Jadi, solusi sistem persamaan adalah $x=1, y=2, z=3$.
Jawaban yang tepat adalah a. $x=1, y=2, z=3$.

Contoh Soal 6 (Uraian):
Sebuah toko menjual tiga jenis buku: fiksi, sains, dan sejarah. Harga satu buku fiksi adalah Rp15.000, buku sains Rp20.000, dan buku sejarah Rp25.000. Adi membeli 2 buku fiksi, 1 buku sains, dan 1 buku sejarah seharga Rp75.000. Budi membeli 1 buku fiksi, 3 buku sains, dan 2 buku sejarah seharga Rp135.000. Cici membeli 3 buku fiksi, 2 buku sains, dan 1 buku sejarah seharga Rp120.000. Tentukan harga masing-masing jenis buku tersebut menggunakan sistem persamaan linear tiga variabel.

Pembahasan:
Misalkan:
$f$ = harga satu buku fiksi
$s$ = harga satu buku sains
$h$ = harga satu buku sejarah

Dari informasi yang diberikan, kita dapat membentuk sistem persamaan linear tiga variabel:
Adi: $2f + s + h = 75.000$ (1)
Budi: $f + 3s + 2h = 135.000$ (2)
Cici: $3f + 2s + h = 120.000$ (3)

Kita gunakan metode eliminasi.
Eliminasi $h$ dari persamaan (1) dan (3):
(3) – (1): $(3f + 2s + h) – (2f + s + h) = 120.000 – 75.000$
$f + s = 45.000$ (4)

Eliminasi $h$ dari persamaan (1) dan (2). Kalikan persamaan (1) dengan 2:
$4f + 2s + 2h = 150.000$ (1′)
Kurangkan persamaan (2) dari (1′):
$(4f + 2s + 2h) – (f + 3s + 2h) = 150.000 – 135.000$
$3f – s = 15.000$ (5)

Sekarang kita punya sistem persamaan dua variabel:
4) $f + s = 45.000$
5) $3f – s = 15.000$

Jumlahkan persamaan (4) dan (5) untuk mengeliminasi $s$:
$(f + s) + (3f – s) = 45.000 + 15.000$
$4f = 60.000$
$f = frac60.0004 = 15.000$

Substitusikan $f = 15.000$ ke persamaan (4):
$15.000 + s = 45.000$
$s = 45.000 – 15.000 = 30.000$

Substitusikan $f = 15.000$ dan $s = 30.000$ ke persamaan (1):
$2(15.000) + 30.000 + h = 75.000$
$30.000 + 30.000 + h = 75.000$
$60.000 + h = 75.000$
$h = 75.000 – 60.000 = 15.000$

Namun, ada inkonsistensi dengan harga buku yang disebutkan di awal soal. Mari kita periksa kembali.
Soal menyatakan: "Harga satu buku fiksi adalah Rp15.000, buku sains Rp20.000, dan buku sejarah Rp25.000."
Hasil perhitungan kita adalah:
Harga buku fiksi = Rp15.000 (sesuai)
Harga buku sains = Rp30.000 (tidak sesuai)
Harga buku sejarah = Rp15.000 (tidak sesuai)

Ini menunjukkan bahwa data yang diberikan dalam soal untuk pembelian Adi, Budi, dan Cici tidak konsisten dengan harga satuan yang disebutkan di awal. Dalam konteks soal ujian, jika ada inkonsistensi seperti ini, biasanya siswa diminta untuk menghitung berdasarkan informasi pembelian, bukan mengoreksi harga satuan.

Jadi, berdasarkan data pembelian:
Harga satu buku fiksi = Rp15.000
Harga satu buku sains = Rp30.000
Harga satu buku sejarah = Rp15.000

Jika kita mengabaikan harga satuan yang diberikan di awal dan hanya fokus pada pembelian, maka itulah jawabannya. Namun, jika kita diminta untuk memverifikasi harga satuan, maka ada masalah dengan data soal.

Mari kita asumsikan ada kesalahan ketik pada harga satuan di awal soal, dan kita gunakan hasil perhitungan kita sebagai harga sebenarnya. Maka:
Harga satu buku fiksi adalah Rp15.000.
Harga satu buku sains adalah Rp30.000.
Harga satu buku sejarah adalah Rp15.000.

Catatan untuk siswa: Dalam ujian, perhatikan baik-baik apakah ada inkonsistensi data. Jika tidak diminta untuk mengoreksi, gunakan data yang ada untuk menghitung.

>

Bab 4: Trigonometri Dasar – Sudut, Sisi, dan Rasio

Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sisi dan sudut dalam segitiga, terutama segitiga siku-siku. Materi ini menjadi dasar untuk berbagai aplikasi dalam fisika, teknik, dan ilmu lainnya.

Konsep Kunci:

• Sinus (sin): perbandingan sisi depan sudut dengan sisi miring.
• Cosinus (cos): perbandingan sisi samping sudut dengan sisi miring.
• Tangen (tan): perbandingan sisi depan sudut dengan sisi samping sudut.
• Perbandingan ini sering disingkat sebagai "Sin-Cos-Tan" atau "Depan-Miring-Samping" (Demi-Sami-Miring).
• Hubungan antar rasio: $tan theta = fracsin thetacos theta$.
• Hubungan Pythagoras pada segitiga siku-siku: $a^2 + b^2 = c^2$.

Contoh Soal 7 (Pilihan Ganda):
Dalam segitiga siku-siku ABC, dengan siku-siku di B, diketahui panjang sisi AB = 8 cm dan BC = 6 cm. Besar $sin A$ adalah…
a. $frac35$
b. $frac45$
c. $frac34$
d. $frac43$
e. $frac53$

Pembahasan:
Pertama, kita perlu mencari panjang sisi miring AC menggunakan teorema Pythagoras.
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 8^2 + 6^2$
$AC^2 = 64 + 36$
$AC^2 = 100$
$AC = sqrt100 = 10$ cm.

Sekarang kita tentukan $sin A$. Sudut A memiliki sisi depan BC dan sisi miring AC.
$sin A = fractextSisi Depan Sudut AtextSisi Miring$
$sin A = fracBCAC = frac610 = frac35$.

Jadi, besar $sin A$ adalah $frac35$.
Jawaban yang tepat adalah a. $frac35$.

Contoh Soal 8 (Uraian):
Diketahui $cos theta = frac1213$ dan $theta$ berada di kuadran I. Tentukan nilai $tan theta$.

Pembahasan:
Diketahui $cos theta = frac1213$. Dalam segitiga siku-siku, $cos theta = fractextSisi SampingtextSisi Miring$.
Jadi, kita bisa menganggap sisi samping adalah 12 dan sisi miring adalah 13.
Kita perlu mencari panjang sisi depan menggunakan teorema Pythagoras:
$Sisi Depan^2 + Sisi Samping^2 = Sisi Miring^2$
$Sisi Depan^2 + 12^2 = 13^2$
$Sisi Depan^2 + 144 = 169$
$Sisi Depan^2 = 169 – 144$
$Sisi Depan^2 = 25$
$Sisi Depan = sqrt25 = 5$.

Karena $theta$ berada di kuadran I, semua nilai trigonometri positif.
$tan theta = fractextSisi DepantextSisi Samping$
$tan theta = frac512$.

Jadi, nilai $tan theta$ adalah $frac512$.

>

Penutup

Menguasai materi matematika kelas 10 semester 1 adalah kunci untuk kesuksesan di jenjang selanjutnya. Dengan memahami konsep-konsep dasar fungsi, nilai mutlak, sistem persamaan linear, dan trigonometri, serta berlatih berbagai jenis soal, siswa akan membangun kepercayaan diri dan kemampuan pemecahan masalah yang kuat.

Kumpulan contoh soal dan pembahasan mendalam ini diharapkan dapat menjadi sumber belajar yang berharga bagi para siswa. Ingatlah bahwa kunci utama dalam belajar matematika adalah konsistensi dalam berlatih dan keberanian untuk bertanya ketika menghadapi kesulitan. Selamat belajar dan semoga sukses!

>