Contoh soal matematika kelas 10 semester 1 dan penyelesaiannya doc
Menguasai Matematika Kelas 10 Semester 1: Contoh Soal dan Penyelesaian Lengkap
Matematika kelas 10 semester 1 merupakan gerbang awal bagi siswa dalam mendalami konsep-konsep matematika yang lebih kompleks di jenjang SMA. Materi yang disajikan biasanya mencakup bilangan berpangkat dan bentuk akar, persamaan dan pertidaksamaan linear, fungsi linear, serta sistem persamaan linear. Menguasai materi ini dengan baik akan menjadi fondasi yang kuat untuk pembelajaran matematika di semester berikutnya dan jenjang pendidikan yang lebih tinggi.
Artikel ini akan membahas secara mendalam beberapa contoh soal representatif dari materi-materi tersebut, lengkap dengan langkah-langkah penyelesaian yang rinci. Tujuannya adalah agar siswa dapat memahami logika di balik setiap penyelesaian, bukan hanya sekadar menghafal rumus. Mari kita mulai petualangan kita dalam menguasai matematika kelas 10 semester 1!
I. Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
Materi ini memperkenalkan sifat-sifat dasar operasi pada bilangan berpangkat dan bagaimana menyederhanakan ekspresi yang melibatkan akar. Pemahaman yang kuat di sini akan sangat membantu dalam aljabar dan kalkulus nantinya.
Contoh Soal 1:
Sederhanakan bentuk $frac(3x^2y^-3)^29x^-1y^2$!
Penyelesaian:
Langkah pertama adalah menerapkan sifat perpangkatan pada pembilang: $(a^m)^n = a^m times n$ dan $(ab)^n = a^n b^n$.
$(3x^2y^-3)^2 = 3^2 times (x^2)^2 times (y^-3)^2$
$= 9 times x^2 times 2 times y^-3 times 2$
$= 9x^4y^-6$
Selanjutnya, kita masukkan hasil ini kembali ke dalam pecahan:
$frac9x^4y^-69x^-1y^2$
Sekarang, kita gunakan sifat pembagian bilangan berpangkat: $fraca^ma^n = a^m-n$. Kita sederhanakan masing-masing variabel:
Untuk $x$: $fracx^4x^-1 = x^4 – (-1) = x^4+1 = x^5$
Untuk $y$: $fracy^-6y^2 = y^-6 – 2 = y^-8$
Koefisien angka juga dapat disederhanakan: $frac99 = 1$.
Jadi, hasil penyederhanaan adalah $1 times x^5 times y^-8 = x^5y^-8$.
Sesuai dengan konvensi, biasanya kita tidak menyisakan pangkat negatif di pembilang atau penyebut. Kita gunakan sifat $a^-n = frac1a^n$:
$x^5y^-8 = fracx^5y^8$
Jawaban: $fracx^5y^8$
Contoh Soal 2:
Rasionalkan penyebut dari $frac23-sqrt5$!
Penyelesaian:
Untuk merasionalkan penyebut yang berbentuk $a pm sqrtb$, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawannya. Sekawan dari $3-sqrt5$ adalah $3+sqrt5$.
$frac23-sqrt5 times frac3+sqrt53+sqrt5$
Sekarang, kita kalikan pembilang dan penyebutnya:
Pembilang: $2 times (3+sqrt5) = 6 + 2sqrt5$
Penyebut: $(3-sqrt5)(3+sqrt5)$. Ini adalah bentuk $(a-b)(a+b) = a^2 – b^2$.
Jadi, $(3-sqrt5)(3+sqrt5) = 3^2 – (sqrt5)^2 = 9 – 5 = 4$.
Menggabungkan kembali pembilang dan penyebut:
$frac6 + 2sqrt54$
Kita dapat menyederhanakan pecahan ini dengan membagi setiap suku di pembilang dengan penyebut:
$frac64 + frac2sqrt54 = frac32 + fracsqrt52$
Atau bisa juga ditulis sebagai: $frac3+sqrt52$
Jawaban: $frac3+sqrt52$
II. Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
Bagian ini berfokus pada pemecahan persamaan dan pertidaksamaan yang melibatkan variabel dengan pangkat tertinggi satu. Keterampilan ini fundamental untuk pemodelan matematika.
Contoh Soal 3:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear $5(x-2) – 3(2x+1) = 4x – 11$.
Penyelesaian:
Langkah pertama adalah menyederhanakan kedua sisi persamaan dengan mendistribusikan angka di luar kurung:
Sisi kiri:
$5(x-2) = 5x – 10$
$-3(2x+1) = -6x – 3$
Jadi, sisi kiri menjadi: $(5x – 10) + (-6x – 3) = 5x – 10 – 6x – 3 = (5x – 6x) + (-10 – 3) = -x – 13$.
Sisi kanan sudah sederhana: $4x – 11$.
Sekarang, persamaan kita menjadi: $-x – 13 = 4x – 11$.
Selanjutnya, kita kumpulkan semua suku yang mengandung variabel $x$ di satu sisi dan suku konstanta di sisi lain. Mari kita pindahkan $-x$ ke kanan (menjadi $+x$) dan $-11$ ke kiri (menjadi $+11$).
$-13 + 11 = 4x + x$
Sederhanakan kedua sisi:
$-2 = 5x$
Terakhir, bagi kedua sisi dengan koefisien $x$ (yaitu 5) untuk mendapatkan nilai $x$:
$x = frac-25$
Jawaban: Himpunan penyelesaiannya adalah $left-frac25right$.
Contoh Soal 4:
Temukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear $2(3x-1) le 4(x+3) + 5$.
Penyelesaian:
Sama seperti persamaan linear, kita mulai dengan menyederhanakan kedua sisi pertidaksamaan.
Sisi kiri:
$2(3x-1) = 6x – 2$.
Sisi kanan:
$4(x+3) + 5 = 4x + 12 + 5 = 4x + 17$.
Pertidaksamaan menjadi: $6x – 2 le 4x + 17$.
Sekarang, kita kumpulkan suku-suku $x$ di satu sisi dan konstanta di sisi lain. Mari kita pindahkan $4x$ ke kiri (menjadi $-4x$) dan $-2$ ke kanan (menjadi $+2$). Ingat, ketika memindahkan suku, tandanya berubah.
$6x – 4x le 17 + 2$
Sederhanakan kedua sisi:
$2x le 19$
Terakhir, bagi kedua sisi dengan koefisien $x$ (yaitu 2). Karena 2 adalah bilangan positif, arah tanda pertidaksamaan tidak berubah.
$x le frac192$
Jawaban: Himpunan penyelesaiannya adalah $x mid x le frac192$.
III. Fungsi Linear
Fungsi linear adalah konsep dasar dalam matematika yang menggambarkan hubungan garis lurus. Memahami grafik dan karakteristiknya sangat penting.
Contoh Soal 5:
Diketahui fungsi linear $f(x) = 2x + 3$.
a. Tentukan nilai $f(4)$.
b. Jika $f(a) = 15$, tentukan nilai $a$.
c. Gambarlah grafik fungsi $f(x)$ pada bidang Kartesius.
Penyelesaian:
a. Untuk menentukan nilai $f(4)$, kita substitusikan $x=4$ ke dalam rumus fungsi:
$f(4) = 2(4) + 3$
$f(4) = 8 + 3$
$f(4) = 11$
b. Jika $f(a) = 15$, artinya nilai output dari fungsi adalah 15 ketika inputnya adalah $a$. Kita substitusikan ke dalam rumus fungsi:
$f(a) = 2a + 3$
Kita samakan dengan 15:
$2a + 3 = 15$
Kurangi kedua sisi dengan 3:
$2a = 15 – 3$
$2a = 12$
Bagi kedua sisi dengan 2:
$a = frac122$
$a = 6$
c. Untuk menggambar grafik fungsi linear $f(x) = 2x + 3$, kita perlu menentukan setidaknya dua titik yang dilalui oleh garis tersebut. Kita bisa menggunakan nilai-nilai yang sudah kita hitung atau memilih nilai $x$ lain.
Kita sudah punya titik dari bagian a: $(4, 11)$.
Kita juga punya titik dari bagian b: $(6, 15)$.
Cara lain untuk menemukan titik yang mudah adalah mencari perpotongan dengan sumbu y. Perpotongan dengan sumbu y terjadi ketika $x=0$:
$f(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3$.
Jadi, titik perpotongan dengan sumbu y adalah $(0, 3)$.
Kita juga bisa mencari perpotongan dengan sumbu x. Perpotongan dengan sumbu x terjadi ketika $f(x)=0$:
$2x + 3 = 0$
$2x = -3$
$x = -frac32$
Jadi, titik perpotongan dengan sumbu x adalah $(-frac32, 0)$ atau $(-1.5, 0)$.
Sekarang kita punya beberapa titik: $(0, 3)$, $(4, 11)$, $(6, 15)$, dan $(-1.5, 0)$. Kita bisa menggunakan dua titik saja, misalnya $(0, 3)$ dan $(4, 11)$.
Langkah menggambar grafik:
- Buat sistem koordinat Kartesius dengan sumbu x horizontal dan sumbu y vertikal.
- Tandai titik $(0, 3)$ pada sumbu y.
- Tandai titik $(4, 11)$ pada bidang Kartesius.
- Tarik garis lurus yang menghubungkan kedua titik tersebut. Perpanjang garis ke kedua arah.
Grafik fungsi $f(x) = 2x + 3$ adalah sebuah garis lurus yang naik dari kiri ke kanan, memotong sumbu y di titik $(0, 3)$ dan sumbu x di titik $(-1.5, 0)$.
IV. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
SPLDV melibatkan dua persamaan linear dengan dua variabel yang sama. Solusinya adalah pasangan nilai variabel yang memenuhi kedua persamaan secara bersamaan.
Contoh Soal 6:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan metode substitusi:
Persamaan 1: $x + 2y = 5$
Persamaan 2: $2x – y = 0$
Penyelesaian:
Metode substitusi melibatkan mengganti salah satu variabel dalam satu persamaan dengan ekspresi dari variabel yang sama dalam persamaan lain.
Langkah 1: Ubah salah satu persamaan untuk mengisolasi satu variabel.
Dari Persamaan 2, $2x – y = 0$, kita bisa mengisolasi $y$:
$y = 2x$
Langkah 2: Substitusikan ekspresi variabel ini ke dalam persamaan lainnya.
Substitusikan $y = 2x$ ke dalam Persamaan 1:
$x + 2(2x) = 5$
Langkah 3: Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk menemukan nilai satu variabel.
$x + 4x = 5$
$5x = 5$
$x = frac55$
$x = 1$
Langkah 4: Substitusikan nilai variabel yang ditemukan kembali ke dalam ekspresi variabel sebelumnya untuk mencari nilai variabel lainnya.
Kita sudah punya $y = 2x$. Sekarang substitusikan $x=1$:
$y = 2(1)$
$y = 2$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah pasangan $(x, y) = (1, 2)$.
Jawaban: Himpunan penyelesaiannya adalah $(1, 2)$.
Contoh Soal 7:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi:
Persamaan 1: $3x + 2y = 10$
Persamaan 2: $2x – 3y = -2$
Penyelesaian:
Metode eliminasi melibatkan mengalikan salah satu atau kedua persamaan dengan suatu bilangan sehingga koefisien salah satu variabel sama (atau berlawanan tanda) di kedua persamaan. Kemudian, kita jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan tersebut untuk mengeliminasi satu variabel.
Langkah 1: Pilih variabel yang akan dieliminasi. Mari kita pilih variabel $y$.
Agar koefisien $y$ sama, kita perlu mengalikan Persamaan 1 dengan 3 dan Persamaan 2 dengan 2. Tujuannya agar koefisien $y$ menjadi $6y$ dan $-6y$, sehingga jika dijumlahkan akan tereliminasi.
Persamaan 1 dikalikan 3:
$3 times (3x + 2y) = 3 times 10$
$9x + 6y = 30$ (Persamaan 3)
Persamaan 2 dikalikan 2:
$2 times (2x – 3y) = 2 times (-2)$
$4x – 6y = -4$ (Persamaan 4)
Langkah 2: Jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan yang baru untuk mengeliminasi variabel yang dipilih.
Karena koefisien $y$ pada Persamaan 3 adalah $+6y$ dan pada Persamaan 4 adalah $-6y$, kita akan menjumlahkan kedua persamaan ini:
$9x + 6y = 30$
-
$4x – 6y = -4$
$13x + 0y = 26$
$13x = 26$
Langkah 3: Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk menemukan nilai satu variabel.
$13x = 26$
$x = frac2613$
$x = 2$
Langkah 4: Substitusikan nilai variabel yang ditemukan kembali ke salah satu persamaan asli untuk mencari nilai variabel lainnya.
Mari kita substitusikan $x=2$ ke Persamaan 1: $3x + 2y = 10$.
$3(2) + 2y = 10$
$6 + 2y = 10$
Kurangi kedua sisi dengan 6:
$2y = 10 – 6$
$2y = 4$
Bagi kedua sisi dengan 2:
$y = frac42$
$y = 2$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah pasangan $(x, y) = (2, 2)$.
Jawaban: Himpunan penyelesaiannya adalah $(2, 2)$.
Penutup
Memahami contoh soal dan penyelesaiannya secara mendalam adalah kunci untuk menguasai materi matematika kelas 10 semester 1. Setiap soal dirancang untuk menguji pemahaman Anda terhadap konsep-konsep tertentu. Dengan berlatih secara konsisten dan memahami logika di balik setiap langkah penyelesaian, Anda akan membangun kepercayaan diri dan fondasi matematika yang kuat.
Ingatlah bahwa matematika bukan hanya tentang menghafal rumus, tetapi tentang pemahaman dan kemampuan memecahkan masalah. Teruslah berlatih, jangan ragu untuk bertanya jika ada kesulitan, dan nikmati proses belajar Anda!
>