Contoh soal matematika kelas 10 semester 1 dan penyelesaiannya 2019
Mengupas Tuntas Contoh Soal Matematika Kelas 10 Semester 1 dan Solusinya (Tahun 2019)
Tahun ajaran baru selalu membawa semangat baru, dan bagi siswa kelas 10, ini berarti memasuki gerbang matematika yang lebih mendalam dan menantang. Semester pertama di jenjang SMA seringkali menjadi titik krusial dalam membangun fondasi pemahaman matematika. Materi yang disajikan biasanya berfokus pada konsep-konsep fundamental yang akan terus digunakan di semester-semester berikutnya dan bahkan di jenjang pendidikan yang lebih tinggi.
Pada artikel ini, kita akan menjelajahi beberapa contoh soal matematika kelas 10 semester 1 yang sering muncul pada ujian atau ulangan di tahun 2019. Kita tidak hanya akan menyajikan soalnya, tetapi juga akan memberikan penjelasan rinci mengenai langkah-langkah penyelesaiannya. Tujuannya adalah agar siswa tidak hanya menghafal jawaban, tetapi benar-benar memahami logika di balik setiap proses penyelesaian.
Materi Utama yang Sering Muncul di Kelas 10 Semester 1:
Sebelum kita masuk ke contoh soal, mari kita tinjau kembali materi-materi utama yang umumnya dibahas di semester pertama kelas 10:
- Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar: Konsep eksponen, sifat-sifat bilangan berpangkat, operasi pada bentuk akar, dan rasionalisasi penyebut.
- Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak: Pengertian nilai mutlak, penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak, serta interpretasi grafisnya.
- Fungsi Kuadrat: Pengertian fungsi kuadrat, grafik fungsi kuadrat (parabola), menentukan titik puncak, sumbu simetri, akar-akar, serta aplikasi fungsi kuadrat.
- Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV): Pengertian SPLTV, metode penyelesaian (eliminasi, substitusi, campuran, determinan), dan penerapannya dalam soal cerita.
Mari kita mulai dengan contoh-contoh soal yang relevan dengan materi-materi tersebut.
>
Contoh Soal 1: Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
Soal:
Sederhanakan bentuk $frac2^5 cdot 3^7 cdot 5^22^3 cdot 3^5 cdot 5^3$ dan tentukan nilai dari $(sqrt2 + sqrt3)^2$.
Penyelesaian:
Bagian pertama soal ini menguji pemahaman kita tentang sifat-sifat bilangan berpangkat, khususnya sifat pembagian bilangan berpangkat dengan basis yang sama: $a^m / a^n = a^m-n$.
$frac2^5 cdot 3^7 cdot 5^22^3 cdot 3^5 cdot 5^3 = 2^5-3 cdot 3^7-5 cdot 5^2-3$
$= 2^2 cdot 3^2 cdot 5^-1$
Untuk $5^-1$, kita menggunakan sifat $a^-n = 1/a^n$.
$= 4 cdot 9 cdot frac15$
$= frac365$
Jadi, bentuk sederhana dari ekspresi pertama adalah $frac365$.
Bagian kedua soal meminta kita menghitung nilai dari $(sqrt2 + sqrt3)^2$. Kita akan menggunakan rumus kuadrat binomial $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Dalam kasus ini, $a = sqrt2$ dan $b = sqrt3$.
$(sqrt2 + sqrt3)^2 = (sqrt2)^2 + 2(sqrt2)(sqrt3) + (sqrt3)^2$
$= 2 + 2sqrt2 cdot 3 + 3$
$= 2 + 2sqrt6 + 3$
$= 5 + 2sqrt6$
Jadi, nilai dari $(sqrt2 + sqrt3)^2$ adalah $5 + 2sqrt6$.
>
Contoh Soal 2: Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Soal:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $|2x – 1| = 5$ dan pertidaksamaan $|x + 3| le 4$.
Penyelesaian:
Persamaan Nilai Mutlak: $|2x – 1| = 5$
Definisi nilai mutlak $|a|$ adalah $a$ jika $a ge 0$ dan $-a$ jika $a < 0$. Oleh karena itu, persamaan $|2x – 1| = 5$ memiliki dua kemungkinan:
Kasus 1: $2x – 1 = 5$
$2x = 5 + 1$
$2x = 6$
$x = 3$
Kasus 2: $2x – 1 = -5$
$2x = -5 + 1$
$2x = -4$
$x = -2$
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan $|2x – 1| = 5$ adalah $-2, 3$.
Pertidaksamaan Nilai Mutlak: $|x + 3| le 4$
Pertidaksamaan $|x + 3| le 4$ berarti bahwa jarak dari $x+3$ ke nol adalah kurang dari atau sama dengan 4. Ini dapat ditulis sebagai:
$-4 le x + 3 le 4$
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, kita akan mengurangi 3 dari ketiga bagian:
$-4 – 3 le x + 3 – 3 le 4 – 3$
$-7 le x le 1$
Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $|x + 3| le 4$ adalah $x mid -7 le x le 1$. Dalam notasi interval, ini adalah $$.
>
Contoh Soal 3: Fungsi Kuadrat
Soal:
Diketahui fungsi kuadrat $f(x) = x^2 – 6x + 5$. Tentukan:
a. Titik potong sumbu-x.
b. Titik potong sumbu-y.
c. Koordinat titik puncak.
d. Persamaan sumbu simetri.
Penyelesaian:
Fungsi kuadrat yang diberikan adalah $f(x) = x^2 – 6x + 5$. Bentuk umum fungsi kuadrat adalah $f(x) = ax^2 + bx + c$. Dalam kasus ini, $a=1$, $b=-6$, dan $c=5$.
a. Titik potong sumbu-x:
Titik potong sumbu-x terjadi ketika $f(x) = 0$. Jadi, kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat $x^2 – 6x + 5 = 0$.
Kita bisa memfaktorkan persamaan ini:
$(x – 1)(x – 5) = 0$
Ini memberikan dua solusi:
$x – 1 = 0 implies x = 1$
$x – 5 = 0 implies x = 5$
Jadi, titik potong sumbu-x adalah $(1, 0)$ dan $(5, 0)$.
b. Titik potong sumbu-y:
Titik potong sumbu-y terjadi ketika $x = 0$. Kita substitusikan $x=0$ ke dalam fungsi:
$f(0) = (0)^2 – 6(0) + 5$
$f(0) = 0 – 0 + 5$
$f(0) = 5$
Jadi, titik potong sumbu-y adalah $(0, 5)$.
c. Koordinat titik puncak:
Koordinat titik puncak $(x_p, y_p)$ dapat dihitung menggunakan rumus:
$x_p = frac-b2a$
$y_p = f(x_p)$ atau $y_p = frac-(b^2 – 4ac)4a$
Menggunakan rumus $x_p$:
$x_p = frac-(-6)2(1) = frac62 = 3$
Sekarang kita substitusikan $x_p = 3$ ke dalam fungsi $f(x)$ untuk mencari $y_p$:
$y_p = f(3) = (3)^2 – 6(3) + 5$
$y_p = 9 – 18 + 5$
$y_p = -9 + 5$
$y_p = -4$
Jadi, koordinat titik puncak adalah $(3, -4)$.
d. Persamaan sumbu simetri:
Sumbu simetri adalah garis vertikal yang melalui titik puncak. Persamaannya adalah $x = x_p$.
Dari perhitungan di atas, $x_p = 3$.
Jadi, persamaan sumbu simetrinya adalah $x = 3$.
>
Contoh Soal 4: Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Soal:
Tentukan nilai $x$, $y$, dan $z$ dari sistem persamaan linear berikut menggunakan metode eliminasi:
1) $x + y + z = 6$
2) $x + 2y – z = 3$
3) $2x – y + z = 3$
Penyelesaian:
Kita akan menggunakan metode eliminasi untuk menyelesaikan SPLTV ini. Tujuannya adalah mengurangi jumlah variabel dalam setiap langkah.
Langkah 1: Eliminasi satu variabel dari dua pasang persamaan.
Mari kita eliminasi $z$ dari persamaan (1) dan (2).
(1) $x + y + z = 6$
(2) $x + 2y – z = 3$
Tambahkan kedua persamaan:
$(x+x) + (y+2y) + (z-z) = 6+3$
$2x + 3y = 9$ (Persamaan 4)
Selanjutnya, mari kita eliminasi $z$ dari persamaan (1) dan (3).
(1) $x + y + z = 6$
(3) $2x – y + z = 3$
Kurangi persamaan (3) dari persamaan (1) (atau sebaliknya). Mari kita kurangi persamaan (3) dari persamaan (1):
$(x – 2x) + (y – (-y)) + (z – z) = 6 – 3$
$-x + 2y = 3$ (Persamaan 5)
Langkah 2: Selesaikan sistem persamaan dua variabel yang baru terbentuk.
Sekarang kita punya sistem persamaan baru dengan dua variabel:
(4) $2x + 3y = 9$
(5) $-x + 2y = 3$
Mari kita eliminasi $x$ dari kedua persamaan ini. Kalikan persamaan (5) dengan 2:
$2 times (-x + 2y) = 2 times 3$
$-2x + 4y = 6$ (Persamaan 6)
Sekarang tambahkan persamaan (4) dan (6):
$(2x + (-2x)) + (3y + 4y) = 9 + 6$
$0x + 7y = 15$
$7y = 15$
$y = frac157$
Langkah 3: Substitusikan nilai variabel yang ditemukan ke salah satu persamaan dua variabel untuk mencari variabel lainnya.
Kita sudah mendapatkan nilai $y$. Mari kita substitusikan $y = frac157$ ke dalam persamaan (5) untuk mencari nilai $x$:
$-x + 2y = 3$
$-x + 2(frac157) = 3$
$-x + frac307 = 3$
$-x = 3 – frac307$
Untuk mengurangkan, samakan penyebutnya:
$-x = frac217 – frac307$
$-x = frac21 – 307$
$-x = frac-97$
$x = frac97$
Langkah 4: Substitusikan nilai kedua variabel yang ditemukan ke salah satu persamaan awal untuk mencari variabel ketiga.
Kita sudah mendapatkan nilai $x = frac97$ dan $y = frac157$. Mari kita substitusikan kedua nilai ini ke dalam persamaan (1) untuk mencari nilai $z$:
$x + y + z = 6$
$frac97 + frac157 + z = 6$
$frac9 + 157 + z = 6$
$frac247 + z = 6$
$z = 6 – frac247$
Samakan penyebutnya:
$z = frac427 – frac247$
$z = frac42 – 247$
$z = frac187$
Jadi, solusi dari sistem persamaan linear tersebut adalah $x = frac97$, $y = frac157$, dan $z = frac187$.
>
Penutup
Mempelajari contoh soal beserta penyelesaiannya secara mendalam adalah kunci untuk menguasai materi matematika. Soal-soal yang kita bahas di atas mencakup beberapa topik penting di kelas 10 semester 1. Penting bagi siswa untuk berlatih soal-soal serupa dari berbagai sumber, termasuk buku teks, LKS, dan soal-soal ujian tahun sebelumnya.
Memahami konsep di balik setiap langkah penyelesaian akan membangun kepercayaan diri siswa dalam menghadapi ujian dan aplikasi matematika di dunia nyata. Jangan ragu untuk bertanya kepada guru atau teman jika ada materi yang belum dipahami. Teruslah berlatih, karena matematika adalah tentang konsistensi dan pemahaman yang mendalam.
Semoga artikel ini bermanfaat dalam perjalanan belajar matematika Anda!
>