Contoh soal matematika kelas 10 smk bab 1
Menguasai Bab 1: Konsep Esensial Matematika Kelas 10 SMK Melalui Contoh Soal
Matematika, sebagai bahasa universal yang mendasari berbagai kemajuan teknologi dan ilmu pengetahuan, memegang peranan krusial dalam kurikulum Sekolah Menengah Kejuruan (SMK). Di kelas 10, fondasi matematika yang kuat dibangun melalui pemahaman konsep-konsep dasar yang akan menjadi pijakan untuk materi yang lebih kompleks di tingkat selanjutnya. Bab 1, seringkali berfokus pada topik-topik fundamental seperti Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar, Persamaan dan Pertidaksamaan Linear, atau Logaritma dan Eksponen, menjadi gerbang awal bagi para siswa SMK untuk menaklukkan dunia matematika.
Artikel ini akan mengupas tuntas contoh-contoh soal yang representatif untuk Bab 1 Matematika Kelas 10 SMK, dengan tujuan memberikan pemahaman mendalam dan strategi penyelesaian yang efektif. Kita akan menjelajahi berbagai tipe soal, mulai dari yang bersifat konseptual hingga yang memerlukan aplikasi rumus, serta memberikan tips untuk mempermudah proses belajar.
1. Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar: Memahami Kekuatan Eksponen dan Transformasi Radikal
Konsep bilangan berpangkat dan bentuk akar adalah blok bangunan penting dalam aljabar. Pemahaman yang baik di sini akan mempermudah pemahaman tentang fungsi eksponensial dan logaritma di bab-bab selanjutnya.
Contoh Soal 1.1 (Operasi Dasar Bilangan Berpangkat):
Sederhanakan bentuk $left(frac2a^3b^-24a^-1b^5right)^-2$!
Pembahasan:
Untuk menyederhanakan ekspresi ini, kita akan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat:
- $(x^m)^n = x^m times n$
- $fracx^mx^n = x^m-n$
- $x^-n = frac1x^n$
- $(xy)^n = x^n y^n$
Langkah pertama adalah menyederhanakan bagian dalam kurung:
$frac2a^3b^-24a^-1b^5 = frac24 times fraca^3a^-1 times fracb^-2b^5$
$= frac12 times a^3 – (-1) times b^-2 – 5$
$= frac12 times a^3+1 times b^-7$
$= frac12 a^4 b^-7$
Selanjutnya, kita pangkatkan hasil tersebut dengan $-2$:
$left(frac12 a^4 b^-7right)^-2 = left(frac12right)^-2 times (a^4)^-2 times (b^-7)^-2$
$= (2^-1)^-2 times a^4 times -2 times b^-7 times -2$
$= 2^(-1) times (-2) times a^-8 times b^14$
$= 2^2 times a^-8 times b^14$
$= 4 a^-8 b^14$
Untuk menyajikan dalam bentuk positif, kita gunakan sifat $x^-n = frac1x^n$:
$= frac4b^14a^8$
Jawaban: $frac4b^14a^8$
Contoh Soal 1.2 (Operasi Bentuk Akar):
Rasionalkan penyebut dari $frac6sqrt3 – sqrt2$!
Pembahasan:
Untuk merasionalkan penyebut yang berbentuk selisih atau jumlah akar, kita kalikan dengan sekawannya. Sekawan dari $sqrta – sqrtb$ adalah $sqrta + sqrtb$.
$frac6sqrt3 – sqrt2 = frac6sqrt3 – sqrt2 times fracsqrt3 + sqrt2sqrt3 + sqrt2$
$= frac6(sqrt3 + sqrt2)(sqrt3 – sqrt2)(sqrt3 + sqrt2)$
Pada penyebut, kita gunakan sifat $(a-b)(a+b) = a^2 – b^2$:
$= frac6(sqrt3 + sqrt2)(sqrt3)^2 – (sqrt2)^2$
$= frac6(sqrt3 + sqrt2)3 – 2$
$= frac6(sqrt3 + sqrt2)1$
$= 6(sqrt3 + sqrt2)$
$= 6sqrt3 + 6sqrt2$
Jawaban: $6sqrt3 + 6sqrt2$
Tips Belajar:
- Hafalkan sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar. Buat kartu catatan atau poster.
- Latihan soal secara rutin dengan berbagai tingkat kesulitan.
- Perhatikan pola dalam penyederhanaan ekspresi.
2. Persamaan dan Pertidaksamaan Linear: Memecahkan Masalah dengan Variabel Tunggal
Persamaan dan pertidaksamaan linear adalah dasar dari banyak konsep aljabar. Di SMK, pemahaman ini krusial untuk pemodelan masalah dalam konteks kejuruan.
Contoh Soal 2.1 (Persamaan Linear Satu Variabel):
Sebuah toko elektronik menjual dua jenis ponsel, A dan B. Harga ponsel A adalah Rp 1.500.000 lebih mahal daripada ponsel B. Jika total harga pembelian 3 ponsel A dan 2 ponsel B adalah Rp 15.500.000, berapakah harga masing-masing ponsel?
Pembahasan:
Misalkan:
- Harga ponsel A = $A$
- Harga ponsel B = $B$
Dari informasi soal, kita dapat membuat dua persamaan:
- $A = B + 1.500.000$ (Harga ponsel A Rp 1.500.000 lebih mahal dari B)
- $3A + 2B = 15.500.000$ (Total harga pembelian 3 ponsel A dan 2 ponsel B)
Kita akan menggunakan metode substitusi. Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2):
$3(B + 1.500.000) + 2B = 15.500.000$
$3B + 4.500.000 + 2B = 15.500.000$
$5B + 4.500.000 = 15.500.000$
$5B = 15.500.000 – 4.500.000$
$5B = 11.000.000$
$B = frac11.000.0005$
$B = 2.200.000$
Setelah mendapatkan harga ponsel B, kita substitusikan kembali ke persamaan (1) untuk mencari harga ponsel A:
$A = B + 1.500.000$
$A = 2.200.000 + 1.500.000$
$A = 3.700.000$
Jawaban: Harga ponsel A adalah Rp 3.700.000 dan harga ponsel B adalah Rp 2.200.000.
Contoh Soal 2.2 (Pertidaksamaan Linear Satu Variabel):
Seorang pengusaha kerajinan tangan dapat memproduksi maksimal 200 unit barang per minggu. Biaya produksi per unit adalah Rp 50.000, dan biaya tetap mingguan adalah Rp 1.000.000. Jika pengusaha tersebut ingin mendapatkan keuntungan minimal Rp 3.000.000 per minggu, berapakah harga jual minimum per unit agar keuntungannya tercapai?
Pembahasan:
Misalkan:
- Jumlah unit yang diproduksi = $x$
- Harga jual per unit = $H$
Informasi yang diberikan:
- Batas produksi: $x le 200$
- Biaya produksi per unit: Rp 50.000
- Biaya tetap mingguan: Rp 1.000.000
- Keuntungan minimal yang diinginkan: Rp 3.000.000
Rumus Keuntungan: Keuntungan = Total Pendapatan – Total Biaya
Total Pendapatan = $x times H$
Total Biaya = Biaya Tetap + (Biaya Produksi per Unit $times x$)
Total Biaya = $1.000.000 + 50.000x$
Jadi, pertidaksamaan keuntungannya adalah:
$xH – (1.000.000 + 50.000x) ge 3.000.000$
Kita ingin mencari harga jual minimum ($H$) per unit. Asumsikan pengusaha memproduksi jumlah maksimum untuk mencapai keuntungan. Jadi, $x = 200$.
$200H – (1.000.000 + 50.000 times 200) ge 3.000.000$
$200H – (1.000.000 + 10.000.000) ge 3.000.000$
$200H – 11.000.000 ge 3.000.000$
$200H ge 3.000.000 + 11.000.000$
$200H ge 14.000.000$
$H ge frac14.000.000200$
$H ge 70.000$
Jawaban: Harga jual minimum per unit agar keuntungannya tercapai adalah Rp 70.000.
Tips Belajar:
- Pahami perbedaan antara persamaan (kesamaan) dan pertidaksamaan (ketidaksamaan).
- Identifikasi variabel yang tidak diketahui dan buatlah model matematika dari soal cerita.
- Gunakan metode substitusi atau eliminasi untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.
- Perhatikan arah tanda pada pertidaksamaan saat melakukan operasi.
3. Logaritma dan Eksponen: Memahami Pertumbuhan dan Peluruhan
Konsep logaritma dan eksponen sangat relevan dalam berbagai bidang, mulai dari keuangan (bunga majemuk), fisika (peluruhan radioaktif), hingga teknologi informasi (kompleksitas algoritma).
Contoh Soal 3.1 (Sifat-sifat Logaritma):
Hitung nilai dari $^2log 16 + ^3log 81 – ^5log 125$!
Pembahasan:
Kita akan menggunakan sifat-sifat logaritma, terutama $log_b a^m = m log_b a$ dan definisi $log_b a = c iff b^c = a$.
- $^2log 16$: Kita cari angka $x$ sehingga $2^x = 16$. Karena $2^4 = 16$, maka $^2log 16 = 4$.
- $^3log 81$: Kita cari angka $y$ sehingga $3^y = 81$. Karena $3^4 = 81$, maka $^3log 81 = 4$.
- $^5log 125$: Kita cari angka $z$ sehingga $5^z = 125$. Karena $5^3 = 125$, maka $^5log 125 = 3$.
Sekarang substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam soal:
$^2log 16 + ^3log 81 – ^5log 125 = 4 + 4 – 3$
$= 8 – 3$
$= 5$
Jawaban: 5
Contoh Soal 3.2 (Persamaan Eksponensial Sederhana):
Tentukan nilai $x$ dari persamaan $3^x+2 = 27^x-1$!
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, kita usahakan agar basisnya sama. Kita tahu bahwa $27 = 3^3$.
$3^x+2 = (3^3)^x-1$
Menggunakan sifat $(a^m)^n = a^m times n$:
$3^x+2 = 3^3(x-1)$
$3^x+2 = 3^3x-3$
Karena basisnya sudah sama, kita bisa menyamakan eksponennya:
$x+2 = 3x-3$
Sekarang kita selesaikan persamaan linear untuk $x$:
$2+3 = 3x – x$
$5 = 2x$
$x = frac52$
Jawaban: $x = frac52$ atau $2.5$
Tips Belajar:
- Buat tabel yang berisi sifat-sifat logaritma dan eksponen.
- Latihan mengubah bentuk logaritma ke eksponen dan sebaliknya.
- Identifikasi basis yang sama untuk menyederhanakan persamaan eksponensial.
- Pahami bagaimana logaritma dan eksponen saling berhubungan.
Penutup: Fondasi Kuat untuk Masa Depan
Memahami materi di Bab 1 Matematika Kelas 10 SMK adalah kunci untuk keberhasilan dalam studi selanjutnya. Dengan penguasaan konsep bilangan berpangkat dan bentuk akar, persamaan dan pertidaksamaan linear, serta logaritma dan eksponen, siswa SMK akan memiliki bekal yang memadai untuk menghadapi tantangan matematika yang lebih kompleks, baik dalam konteks akademis maupun aplikasinya di dunia industri.
Teruslah berlatih, jangan ragu bertanya kepada guru, dan cari sumber belajar tambahan. Matematika bukanlah subjek yang menakutkan, melainkan sebuah alat yang ampuh untuk memecahkan masalah dan memahami dunia di sekitar kita. Semoga contoh-contoh soal dan pembahasan ini dapat membantu Anda menguasai Bab 1 dengan percaya diri!
>