Membedah Tuntas Soal Matematika Kelas 10 Semester 1: Panduan Lengkap dan Contoh Soal

Matematika seringkali dianggap sebagai mata pelajaran yang menantang, namun dengan pemahaman konsep yang kuat dan latihan yang teratur, kesulitan tersebut dapat diatasi. Terutama di jenjang SMA, materi matematika menjadi lebih kompleks dan membutuhkan pendekatan belajar yang lebih mendalam. Artikel ini akan menjadi panduan lengkap bagi siswa kelas 10 semester 1 untuk menghadapi berbagai jenis soal matematika, disertai dengan contoh soal yang bervariasi dan pembahasan yang terperinci.

Semester 1 kelas 10 biasanya mencakup beberapa topik fundamental yang menjadi dasar untuk materi selanjutnya. Di antaranya adalah:

• Pertidaksamaan Linear Satu Variabel: Memahami cara menyelesaikan dan menginterpretasikan solusi dari pertidaksamaan yang melibatkan satu variabel.
• Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel: Melibatkan dua variabel dan mewakili daerah solusi pada grafik.
• Fungsi Linear: Mengenal konsep fungsi, domain, kodomain, range, grafik fungsi linear, serta menentukan persamaan garis lurus.
• Fungsi Kuadrat: Memahami karakteristik parabola, titik puncak, titik potong sumbu, serta menentukan persamaan fungsi kuadrat.
• Program Linear: Mengaplikasikan konsep pertidaksamaan linear dalam menyelesaikan masalah optimasi.

Mari kita bedah satu per satu topik tersebut dengan contoh soal dan pembahasannya.

1. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Pertidaksamaan linear satu variabel adalah pernyataan matematika yang membandingkan dua ekspresi aljabar yang mengandung satu variabel dengan pangkat tertinggi satu, menggunakan simbol ketidaksamaan seperti <, >, ≤, atau ≥.

Konsep Kunci:

• Menyederhanakan Pertidaksamaan: Sama seperti persamaan, kita dapat menambahkan, mengurangi, mengalikan, atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan bilangan yang sama.
• Perhatian pada Tanda Ketidaksamaan: Saat mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan bilangan negatif, arah simbol ketidaksamaan harus dibalik.
• Representasi Himpunan Penyelesaian: Solusi dapat dinyatakan dalam bentuk interval atau notasi himpunan.

Contoh Soal 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $3x – 7 geq 5x + 3$.

Pembahasan:

1. Pindahkan suku yang mengandung variabel ke satu sisi dan konstanta ke sisi lain.
   $3x – 7 geq 5x + 3$
   Kurangi kedua sisi dengan $3x$:
   $-7 geq 2x + 3$
   Kurangi kedua sisi dengan $3$:
   $-10 geq 2x$

2. Bagi kedua sisi dengan koefisien variabel.
   Bagi kedua sisi dengan $2$:
   $frac-102 geq frac2x2$
   $-5 geq x$

3. Tuliskan dalam bentuk yang lebih umum.
   $x leq -5$

Himpunan Penyelesaian: Dalam notasi himpunan, ini adalah $x mid x leq -5, x in mathbbR$. Dalam notasi interval, ini adalah $(-infty, -5]$.

Contoh Soal 2:

Selesaikan pertidaksamaan $frac12(4y – 6) < 3(y – 1)$.

Pembahasan:

1. Sederhanakan kedua sisi.
   $2y – 3 < 3y – 3$

2. Pindahkan suku yang mengandung variabel ke satu sisi dan konstanta ke sisi lain.
   Kurangi kedua sisi dengan $2y$:
   $-3 < y – 3$
   Tambahkan kedua sisi dengan $3$:
   $0 < y$

3. Tuliskan dalam bentuk yang lebih umum.
   $y > 0$

Himpunan Penyelesaian: $y mid y > 0, y in mathbbR$ atau $(0, infty)$.

2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel melibatkan dua atau lebih pertidaksamaan linear yang mengandung dua variabel. Solusi dari sistem ini adalah daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan secara bersamaan, yang biasanya direpresentasikan pada bidang Kartesius.

Konsep Kunci:

• Menggambar Garis Batas: Ubah setiap pertidaksamaan menjadi persamaan untuk mendapatkan garis batasnya.
• Menentukan Daerah Solusi: Uji titik (biasanya titik (0,0) jika bukan bagian dari garis batas) pada setiap pertidaksamaan untuk menentukan sisi mana dari garis yang merupakan solusi.
• Mengarsir Daerah yang Memenuhi: Daerah yang diarsir berulang adalah himpunan penyelesaian dari sistem tersebut.

Contoh Soal 3:

Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut:
$x + y leq 5$
$2x – y > 1$
$x geq 0$
$y geq 0$

Pembahasan:

1. Pertidaksamaan 1: $x + y leq 5$

   • Garis batas: $x + y = 5$. Titik potong sumbu x (saat y=0) adalah (5,0). Titik potong sumbu y (saat x=0) adalah (0,5).
   • Uji titik (0,0): $0 + 0 leq 5$ (Benar). Daerah solusi berada di bawah atau pada garis $x + y = 5$.

2. Pertidaksamaan 2: $2x – y > 1$

   • Garis batas: $2x – y = 1$. Titik potong sumbu x (saat y=0) adalah $(frac12, 0)$. Titik potong sumbu y (saat x=0) adalah $(0, -1)$.
   • Uji titik (0,0): $2(0) – 0 > 1$ (Salah). Daerah solusi berada di atas garis $2x – y = 1$ (tidak termasuk garisnya karena simbolnya >).

3. Pertidaksamaan 3: $x geq 0$

   • Ini berarti daerah solusi berada di sebelah kanan atau pada sumbu y.

4. Pertidaksamaan 4: $y geq 0$

   • Ini berarti daerah solusi berada di atas atau pada sumbu x.

Menggambar dan Mengarsir:
Gambarlah keempat garis batas pada bidang Kartesius. Kemudian, arsir daerah yang memenuhi semua kondisi. Daerah himpunan penyelesaian akan berada di kuadran pertama, dibatasi oleh sumbu x dan sumbu y, di bawah garis $x+y=5$, dan di atas garis $2x-y=1$.

3. Fungsi Linear

Fungsi linear adalah fungsi yang grafiknya berupa garis lurus. Bentuk umum dari fungsi linear adalah $f(x) = mx + c$, di mana $m$ adalah gradien (kemiringan) garis dan $c$ adalah titik potong sumbu y.

Konsep Kunci:

• Domain, Kodomain, Range: Domain adalah himpunan semua nilai input (x), kodomain adalah himpunan semua nilai output yang mungkin, dan range adalah himpunan semua nilai output yang sebenarnya (setelah fungsi diaplikasikan).
• Menentukan Persamaan Garis Lurus:
  • Jika diketahui gradien ($m$) dan satu titik $(x_1, y_1)$: $y – y_1 = m(x – x_1)$.
  • Jika diketahui dua titik $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$: $m = fracy_2 – y_1x_2 – x_1$, kemudian gunakan salah satu titik dan gradien untuk mencari persamaannya.

Contoh Soal 4:

Diketahui fungsi $f(x) = 2x – 4$.
a. Tentukan domain dan kodomain jika $x$ adalah bilangan real.
b. Tentukan range dari fungsi tersebut.
c. Tentukan titik potong sumbu y.
d. Jika $f(a) = 6$, tentukan nilai $a$.

Pembahasan:

a. Domain dan Kodomain: Karena $f(x)$ adalah fungsi linear yang didefinisikan untuk semua bilangan real, maka domainnya adalah himpunan semua bilangan real, $mathbbR$. Kodomainnya juga adalah himpunan semua bilangan real, $mathbbR$.

b. Range: Karena domainnya adalah $mathbbR$ dan fungsinya linear, maka range-nya juga adalah himpunan semua bilangan real, $mathbbR$. Setiap nilai $y$ dapat dicapai dengan memilih nilai $x$ yang sesuai.

c. Titik potong sumbu y: Titik potong sumbu y terjadi ketika $x=0$.
$f(0) = 2(0) – 4 = -4$.
Jadi, titik potong sumbu y adalah $(0, -4)$.

d. Menentukan nilai $a$ jika $f(a) = 6$:
$f(a) = 2a – 4$
$6 = 2a – 4$
$10 = 2a$
$a = 5$.

Contoh Soal 5:

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik $(2, 5)$ dan $(4, 11)$.

Pembahasan:

1. Hitung gradien ($m$).
   $(x_1, y_1) = (2, 5)$ dan $(x_2, y_2) = (4, 11)$
   $m = fracy_2 – y_1x_2 – x_1 = frac11 – 54 – 2 = frac62 = 3$.

2. Gunakan rumus persamaan garis dengan gradien dan salah satu titik.
   Kita gunakan titik $(2, 5)$ dan $m = 3$.
   $y – y_1 = m(x – x_1)$
   $y – 5 = 3(x – 2)$
   $y – 5 = 3x – 6$
   $y = 3x – 6 + 5$
   $y = 3x – 1$.

   Atau, dalam bentuk umum $Ax + By + C = 0$:
   $3x – y – 1 = 0$.

4. Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang memiliki bentuk umum $f(x) = ax^2 + bx + c$, di mana $a, b, c$ adalah konstanta dan $a neq 0$. Grafiknya berupa parabola.

Konsep Kunci:

• Arah Bukaan Parabola: Ditentukan oleh tanda koefisien $a$. Jika $a > 0$, parabola terbuka ke atas. Jika $a < 0$, parabola terbuka ke bawah.
• Titik Puncak: Titik tertinggi atau terendah pada parabola. Koordinat titik puncak $(x_p, y_p)$ dapat dihitung dengan $x_p = -fracb2a$ dan $y_p = f(x_p)$.
• Titik Potong Sumbu X (Akar-akar): Terjadi ketika $f(x) = 0$. Dapat dicari menggunakan rumus kuadrat ($x = frac-b pm sqrtb^2 – 4ac2a$) atau faktorisasi.
• Titik Potong Sumbu Y: Terjadi ketika $x=0$, yaitu $f(0) = c$.

Contoh Soal 6:

Diketahui fungsi kuadrat $f(x) = x^2 – 4x + 3$.
a. Tentukan arah bukaan parabola.
b. Tentukan koordinat titik puncak.
c. Tentukan titik potong sumbu x dan sumbu y.

Pembahasan:

a. Arah Bukaan Parabola: Koefisien $a = 1$. Karena $a > 0$, maka parabola terbuka ke atas.

b. Koordinat Titik Puncak:
$x_p = -fracb2a = -frac-42(1) = frac42 = 2$.
$y_p = f(x_p) = f(2) = (2)^2 – 4(2) + 3 = 4 – 8 + 3 = -1$.
Jadi, titik puncaknya adalah $(2, -1)$.

c. Titik Potong Sumbu X dan Sumbu Y:

• Sumbu X: Cari akar-akar dari $x^2 – 4x + 3 = 0$.
  Kita bisa memfaktorkan: $(x – 1)(x – 3) = 0$.
  Maka, $x – 1 = 0$ atau $x – 3 = 0$.
  $x = 1$ atau $x = 3$.
  Titik potong sumbu x adalah $(1, 0)$ dan $(3, 0)$.

• Sumbu Y: Cari $f(0)$.
  $f(0) = (0)^2 – 4(0) + 3 = 3$.
  Titik potong sumbu y adalah $(0, 3)$.

Contoh Soal 7:

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di titik $(-1, 0)$ dan $(3, 0)$, serta melalui titik $(1, -8)$.

Pembahasan:

Karena fungsi memotong sumbu x di $(-1, 0)$ dan $(3, 0)$, maka akar-akarnya adalah $x_1 = -1$ dan $x_2 = 3$. Bentuk umum fungsi kuadrat yang memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2$ adalah $f(x) = a(x – x_1)(x – x_2)$.

Substitusikan akar-akarnya:
$f(x) = a(x – (-1))(x – 3)$
$f(x) = a(x + 1)(x – 3)$

Sekarang gunakan titik $(1, -8)$ yang dilalui fungsi untuk mencari nilai $a$.
$f(1) = -8$
$a(1 + 1)(1 – 3) = -8$
$a(2)(-2) = -8$
$-4a = -8$
$a = 2$.

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah:
$f(x) = 2(x + 1)(x – 3)$
$f(x) = 2(x^2 – 3x + x – 3)$
$f(x) = 2(x^2 – 2x – 3)$
$f(x) = 2x^2 – 4x – 6$.

5. Program Linear

Program linear adalah metode matematika untuk mencari nilai optimal (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi tujuan, dengan memperhatikan kendala-kendala yang dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linear.

Konsep Kunci:

• Model Matematika: Menerjemahkan masalah cerita ke dalam bentuk pertidaksamaan linear (kendala) dan fungsi tujuan.
• Menentukan Daerah Feasible (Daerah yang Memenuhi Kendala): Menggambar grafik dari sistem pertidaksamaan linear.
• Mencari Titik-Titik Sudut (Titik Pojok) Daerah Feasible: Titik-titik pertemuan garis-garis batas daerah feasible.
• Uji Titik Sudut: Substitusikan koordinat setiap titik sudut ke dalam fungsi tujuan untuk mencari nilai optimum.

Contoh Soal 8:

Seorang pedagang menjual buah apel dan jeruk. Keuntungan dari penjualan 1 kg apel adalah Rp1.000,00 dan keuntungan dari penjualan 1 kg jeruk adalah Rp1.500,00. Pedagang tersebut memiliki modal Rp200.000,00. Biaya untuk membeli 1 kg apel adalah Rp10.000,00 dan 1 kg jeruk adalah Rp5.000,00. Pedagang tersebut membeli buah paling sedikit 10 kg dan paling banyak 30 kg. Tentukan keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pedagang tersebut.

Pembahasan:

1. Model Matematika:
   Misalkan:
   $x$ = jumlah apel yang dibeli (dalam kg)
   $y$ = jumlah jeruk yang dibeli (dalam kg)

   • Fungsi Tujuan (Keuntungan): $Z = 1000x + 1500y$ (akan dimaksimalkan)

   • Kendala:

     • Modal: $10000x + 5000y leq 200000$ (bagi dengan 5000) $Rightarrow 2x + y leq 40$
     • Pembelian minimal: $x + y geq 10$
     • Pembelian maksimal: $x + y leq 30$
     • Non-negatif: $x geq 0, y geq 0$

2. Menentukan Daerah Feasible dan Titik Sudut:
   Gambarlah garis dari pertidaksamaan:

   • $2x + y = 40$
   • $x + y = 10$
   • $x + y = 30$
   • $x = 0$
   • $y = 0$

   Temukan titik-titik potong dari garis-garis tersebut yang membentuk daerah feasible (biasanya di kuadran I). Titik-titik sudutnya adalah:

   • Titik A: Perpotongan $x+y=10$ dan $x=0$ $Rightarrow (0, 10)$
   • Titik B: Perpotongan $x+y=10$ dan $2x+y=40$. Eliminasi: $(2x+y) – (x+y) = 40 – 10 Rightarrow x = 30$. Substitusi ke $x+y=10 Rightarrow 30+y=10 Rightarrow y=-20$. Ini di luar kuadran I, jadi kita perlu hati-hati dalam menggambar. Mari kita cari titik potong yang relevan.

   Mari kita cari titik-titik sudut dengan benar:

   • Perpotongan $x=0$ dan $x+y=10$: $(0, 10)$
   • Perpotongan $y=0$ dan $x+y=10$: $(10, 0)$
   • Perpotongan $x=0$ dan $x+y=30$: $(0, 30)$
   • Perpotongan $y=0$ dan $x+y=30$: $(30, 0)$
   • Perpotongan $x=0$ dan $2x+y=40$: $(0, 40)$
   • Perpotongan $y=0$ dan $2x+y=40$: $(20, 0)$

   Sekarang kita tentukan daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan:

   • $x+y geq 10$: di atas garis $x+y=10$.
   • $x+y leq 30$: di bawah garis $x+y=30$.
   • $2x+y leq 40$: di bawah garis $2x+y=40$.
   • $x geq 0, y geq 0$: kuadran I.

   Titik-titik sudut yang relevan adalah:

   1. Perpotongan $x+y=10$ dan $y=0$: $(10, 0)$
   2. Perpotongan $x+y=30$ dan $y=0$: $(30, 0)$
   3. Perpotongan $x+y=30$ dan $2x+y=40$. Eliminasi: $(2x+y) – (x+y) = 40 – 30 Rightarrow x = 10$. Substitusi ke $x+y=30 Rightarrow 10+y=30 Rightarrow y=20$. Titik: $(10, 20)$.
   4. Perpotongan $x+y=10$ dan $x=0$: $(0, 10)$
   5. Perpotongan $2x+y=40$ dan $x=0$: $(0, 40)$

   Kita perlu mencari titik potong yang membentuk daerah feasible yang benar.
   Titik-titik sudut daerah feasible adalah perpotongan dari batasan-batasan yang aktif:

   • Titik P1: Perpotongan $x+y=10$ dan $x=0$ $Rightarrow (0, 10)$.
   • Titik P2: Perpotongan $x+y=10$ dan $2x+y=40$. Eliminasi $Rightarrow x=30$, $y=-20$. Ini tidak valid karena $y ge 0$.
   • Titik P3: Perpotongan $2x+y=40$ dan $x+y=30$. Eliminasi $Rightarrow x=10$, $y=20$. Titik $(10, 20)$.
   • Titik P4: Perpotongan $x+y=30$ dan $y=0$ $Rightarrow (30, 0)$.
   • Titik P5: Perpotongan $x+y=10$ dan $y=0$ $Rightarrow (10, 0)$.
   • Titik P6: Perpotongan $2x+y=40$ dan $y=0$ $Rightarrow (20, 0)$.

   Titik-titik sudut daerah feasible adalah $(10, 0)$, $(20, 0)$, $(10, 20)$, dan $(0, 10)$. (Periksa kembali daerahnya pada grafik).

   • Dari $(10,0)$ ke $(20,0)$ memenuhi $x+y ge 10$, $x+y le 30$, $2x+y le 40$.
   • Dari $(20,0)$ ke $(10,20)$ (perpotongan $2x+y=40$ dan $x+y=30$). Titik ini memenuhi $x+y ge 10$, $x+y le 30$, $2x+y le 40$.
   • Dari $(10,20)$ ke $(0,10)$ (perpotongan $x+y=30$ dan $x=0$). Titik ini memenuhi $x+y ge 10$, $x+y le 30$, $2x+y le 40$.
   • Dari $(0,10)$ ke $(10,0)$ (perpotongan $x+y=10$ dan $y=0$). Titik ini memenuhi $x+y ge 10$, $x+y le 30$, $2x+y le 40$.

   Jadi, titik-titik sudutnya adalah: $(10, 0)$, $(20, 0)$, $(10, 20)$, dan $(0, 10)$.

3. Uji Titik Sudut pada Fungsi Tujuan:

   • Di $(10, 0)$: $Z = 1000(10) + 1500(0) = 10000$.
   • Di $(20, 0)$: $Z = 1000(20) + 1500(0) = 20000$.
   • Di $(10, 20)$: $Z = 1000(10) + 1500(20) = 10000 + 30000 = 40000$.
   • Di $(0, 10)$: $Z = 1000(0) + 1500(10) = 15000$.

4. Keuntungan Maksimum:
   Nilai $Z$ terbesar adalah Rp40.000,00.

Kesimpulan:

Menguasai materi matematika kelas 10 semester 1 membutuhkan pemahaman konsep yang mendalam dan latihan soal yang konsisten. Dengan membedah contoh-contoh soal di atas, siswa diharapkan dapat lebih percaya diri dalam menghadapi ujian dan menerapkan pengetahuan matematika dalam berbagai konteks. Ingatlah bahwa setiap soal memiliki strategi penyelesaiannya sendiri, dan dengan berlatih, Anda akan semakin terampil dalam menemukan strategi tersebut. Selamat belajar!